高中数学第二章平面向量2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用学案新人教b版必修4

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1、2.4　向量的应用2.4.1　向量在几何中的应用2.4.2　向量在物理中的应用基础知识基本能力1．掌握用向量的方法解决实际问题的步骤．(重点)2．熟记平面向量的相关概念及运算法则．(重点、难点)1．会用向量的方法计算或证明平面几何和解析几何的相关问题．(重点)2．会用向量的方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解问题．(难点)1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度；(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零；(4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量

2、的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是(　　)A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形解析：由＝⇒AB∥CD，且AB≠CD，故四边形ABCD为梯形，故选B．答案：B【自主测试1－2】在△ABC中，已知

3、

4、＝

5、

6、＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵·＝

7、

8、

9、

10、cos∠BAC＝8，∴4×4×cos∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又

11、

12、＝

13、

14、，∴

15、△ABC为等边三角形．答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(m，n)平行于l，则k＝＝＝tanα；反之，若直线l的斜率k＝，则向量(m，n)一定与该直线平行．(2)向量(1，k)与直线l：y＝kx＋b平行．(3)与a＝(m，n)平行且过点P(x0，y0)的直线方程为n(x－x0)－m(y－y0)＝0.(4)过点P(x0，y0)，且与向量a＝(m，n)垂直的直线方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＝0.【自主测试2－1】已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实

16、数m的值为(　　)A．－1B．1C．2D．－1或2答案：D【自主测试2－2】过点A(3，－2)且垂直于向量n＝(5，－3)的直线方程是__________．答案：5x－3y－21＝03．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力

17、与F1的夹角为60°，则F1的大小为(　　)A．5NB．5NC．10ND．5N答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法剖析：(1)要证两线段AB＝CD，可转化为证明

18、

19、＝

20、

21、或2＝2；(2)要证两线段AB∥CD，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ成立；(3)要证两线段AB⊥CD，可转化为证明·＝0；(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ.2．对直线Ax＋By＋C＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

22、为直线上不重合的两点，则＝(x2－x1，y2－y1)及与其共线的向量λ均为直线的方向向量．显然当x1≠x2时，向量与共线，因此向量＝(B，－A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，－A)为直线l的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A，B)与(B，－A)垂直，从而向量(A，B)为直线l的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l1∥l2(或重合)⇔A1B2－A2B1＝0.l1⊥l2⇔A1A2＋B

23、1B2＝0.cosθ＝.剖析：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0的方向向量为n1＝(－B1，A1)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方向向量为n2＝(－B2，A2)．若l1∥l2，则n1∥n2，从而有－B1A2＝－A1B2，即A1B2－A2B1＝0.若l1⊥l2，则n1·n2＝0，从而有B1B2＋A1A2＝0.所以直线l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，直线l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.由于n1·n2＝A1A2＋B1B2，

24、n1

25、＝，

26、n2

27、＝，所以cos〈n1，n2〉＝.所以直线l1与l2夹角θ的余弦值为cosθ＝