2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用教案新人教B版

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1、2.4.1　向量在几何中的应用2.4.2　向量在物理中的应用学习目标核心素养1．会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题．(重点)2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．(难点)1．通过向量在几何中应用的学习，培养学生数学运算及数学建模核心素养．2．通过向量在物理中的应用，培养学生数学建模的核心素养.1．向量在几何中的应用(1)直线与向量平行的条件①直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝＝＝tanα.②平行条件：如果知道直线l的斜率k＝，则向量(a1，

2、a2)一定与该直线平行．③法向量：如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．(2)特殊向量设直线l的一般方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行．思考1：向量可以解决哪些常见的几何问题？[提示]　(1)解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有

3、一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．思考2：向量可以解决哪些物理问题？[提示]　解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为(　　)A．－1　　B．1C．2D．－1或2D　[由于＝－，得m＝－1或m＝2.]2．下列直线与a＝(2,1)垂直的是(　　)A．2x＋y＋1＝0　　　　B．x＋2y＋1＝0C．x－2y＋4＝0D．2x－y＋4＝0A　[直线2x＋y＋1＝0与向量(2,1)垂直．]3．已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2

4、,0)移动到B(－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳．1　[由已知位移＝(－4,3)，∴力F做的功为W＝F·＝2×(－4)＋3×3＝1.]向量在平面几何中的应用【例1】　如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点．求证：AR＝RT＝TC.[思路探究]　由于R，T是对角线AC上的两点，要证AR＝RT＝TC，只要证AR,RT，TC都等于AC即可．[证明]　设＝a，＝b，＝r，＝t，则＝a＋b.由于与共线，所以可设r＝n(a＋b)．因为＝－＝a－b，与共线，所以可设＝m＝m.因为＝＋，所以r＝b＋

5、m，所以n(a＋b)＝b＋m，即(n－m)a＋b＝0.由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有解得所以＝.同理＝.所以AR＝RT＝TC.1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．1.如图所示，若D是△ABC内的一点，且－＝－，求证：AD⊥BC.[证明]　

6、设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵＝＋＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0，∴⊥，即AD⊥BC.向量在解析几何中的应用【例2】　过点A(－2,1)，求：(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．[思路探究]　在直线上任取一点P(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，由∥a可以得(1)，由⊥b可以得(2)．[解]　设所求直线上任意一

7、点P(x，y)，∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1)．(1)由题意知∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0，∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.(2)由题意，知⊥b，∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.2．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．[解]　设P(x，y)，R(x0，y0)

8、，则＝(1,0)－(x0