高中数学第二章平面向量2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用课堂导学案新人教b版必修4

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1、2.4.1向量在几何中的应用课堂导学三点剖析一、向量在平面几何中的应用因为向量有两个特征——长度和方向.所以成为数学中一个典型的数与形的有机结合.如全等、相似、长度、夹角、平行、垂直等问题.在解决这些问题时可考虑应用向量的线性运算和数量积问题.通过对问题的深入分析，认识向量的工具性作用，培养创新精神和解决实际问题的能力.【例1】如下图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，求证：M、N、C三点共线.思路分析：共线问题，一般情况下可化成向量共线，再利用向量共线的条件证明.证明：设=e1，=e2，∵=-=e2-e1，=，∴=e1.∴=+

2、=e1+e2.又=，∴=（e2-e1）.∴=+=e1+（e2-e1）=e1+e2.∴=3.∴M、N、C三点共线.各个击破类题演练1如图，已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：=（++）.证明：设三条中线分别为AD、BE、CF.所以有=.由向量的中线公式有=（+），=（+），所以+=（+）.①同理，+=（+），②+=(+)，③①+②+③得2（++）=(+++++)=0.所以++=0.所以3=++=（+）+（+）+（+）=（++）+（++）=++.所以=（++PC）.变式提升1如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++.求证：⊥.思路分析：要证

3、⊥，即证·=0，选取基底{，}，将，表示出来即可.证明：∵=-，=-=（++）-=+，∴·=（-）·（+）=

4、

5、2-

6、

7、2.∵O为外心，∴

8、

9、=

10、

11、，即·=0.∴⊥.二、向量在解析几何中的应用一般地，对于直线方程Ax+By+C=0而言，向量a=（B，-A）为该直线的方向向量，向量n=（A，B）与直线垂直，又称n=（A，B）为直线的法向量，有了方向向量和法向量，我们就可以用向量来研究平面内两条直线的位置关系，即两直线平行、垂直、夹角等问题.【例2】求过点A（-1，2）且平行于向量a=（3，2）的直线方程.思路分析：利用向量法来解决几何问题时，要将线段看成向量并用端

12、点坐标来表示.解法一：直线与a=（3，2）平行，∴直线斜率k=.∴直线方程为y-2=(x+1),即2x-3y+8=0.解法二：过点A且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为l，在l上任取一点P（x,y），则∥a.如果点P不与点A重合，由向量平行，它们的坐标满足的条件,整理，得方程为2x-3y+8=0.解法三：设P(x,y)为所求直线上任意一点，由题意知∥a，而=（x+1,y-2）,a=(3,2),∴(x+1)·2-(y-2)·3=0,化简得2x-3y+8=0，即为所求直线的方程.类题演练2在△ABC中，已知A（-1，2），B（3，1），C（2，-3），求A

13、C边上的高所在的直线方程.思路分析：在过A点的直线上任取一点P，由已知直线l的方向坐标得法向量n的坐标，利用·n=0求出直线方程.解：与AC边平行的向量为=（3，-5），设P（x,y）是所求直线上任一点，=（x-3,y-1）,所以AC边上的高所在直线方程为·（x-3,y-1）=0,即3x-5y-4=0.变式提升2设A（-1，0），B（1，0），点C在直线2x-3=0上，且2·=·+·，求cos〈,〉.思路分析：本题利用向量的数量积运算与解析几何的联系.解：设C（x0,y0），∵点C在直线2x-3=0上，∴2x0-3=0，∴C（，y0）.则=（，y0）,=(2,0

14、),=(-,-y0).∴·=5，·=+y02,·=-1，又∵2·=·+·，∴2（+y02）=5+(-1).∴y02=.解得y0=±.∴cos〈,〉=.