高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 向量在几何中的应用学案 新人教B版必修.doc

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1、2．4.1　向量在几何中的应用[学习目标]　1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算、分析和解决实际问题的能力．[知识链接]1．向量可以解决哪些常见的几何问题？答　(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等几何问题．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答　(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题

2、；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[预习导引]1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式cosθ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式

3、a

4、＝.2．向量在解析几

5、何中的应用设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，由直线斜率和正切函数的定义，可得k＝＝＝tanα.如果知道直线的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．这时向量(a1，a2)称为这条直线的方向向量．如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．即直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)；直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．要点一　平面几何中的

6、垂直问题例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.证明　方法一　设＝a，＝b，则

7、a

8、＝

9、b

10、，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－

11、a

12、2＋

13、b

14、2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二　如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.规律方法　对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂

15、直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．跟踪演练1　如图，点O是△ABC的外心，E为三角形内一点，满足＝＋＋，求证：⊥.证明　∵O为外心，∴

16、

17、＝

18、

19、.∵＝－，＝－＝(＋＋)－＝＋，∴·＝(＋)·(－)＝

20、

21、2－

22、

23、2＝0，即·＝0.故⊥.要点二　平面几何中的长度问题例2　如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE.证明　如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1,1)，B(

24、0,1)．若设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1)．又∵∥，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，∴x＋y－1＝0.又∵

25、

26、＝

27、

28、，∴x2＋y2－2＝0.由得或(舍)．即E.又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得：x′－＝0，得x′＝－2－，∴F(－2－，1)，∴＝(－1－，0)，＝，∴

29、

30、＝＝1＋＝

31、

32、，∴AF＝AE.规律方法　向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式

33、a

34、2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公

35、式：若a＝(x，y)，则

36、a

37、＝.跟踪演练2　如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而

38、

39、＝

40、a－b

41、＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又

42、

43、2＝

44、a＋b

45、2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴

46、

47、＝，即AC＝.1．若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案　B解析　由(－)·(＋－2)＝0，可知·

48、(＋)＝0，设BC的中点为D，则＋＝2，故·＝0，所以⊥.又D为BC的中点，故△ABC为等腰三角形．2．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是(　　)A．－8B．－1C．1D．8答案　D解析　取BC的中点D，连接AD、OD，则有OD⊥BC，＝(＋)，＝－，·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝×(52－32)＝8，选D.3．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试