高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算知识导航学案新人教b版必修4

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1、2.1向量的线性运算知识梳理1.向量的概念与表示(1)向量：具有大小和方向的量称为向量.看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向这两个要素.(2)向量的模：向量的长度叫做向量的模，向量a的模记作｜a｜.(3)特殊的向量零向量：模是零的向量叫做零向量，记作0，其方向不确定，它可以朝向任意方向.单位向量：给定一个非零向量a，则与a同方向且长度为1的向量，叫做向量a的单位向量.(4)向量的表示方法几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.字母表示：用单个斜黑体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c、…，而手写体用带箭头的小写字母表示如、、、…

2、，此时应特别注意；字母上必须加箭头；还可用两个大写英文字母表示，先写始点，后写终点，字母上面要带箭头.例如：始点为A，终点为B的向量表示为.2.向量间关系(1)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，即相等的向量.(2)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作-a.(3)共线(平行)向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线.如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.3.向量的加法(1)向量加法法则①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使其起点与另一向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终

3、点为终点的向量就是向量a与b的和向量.②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图2-1-1)，作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.图2-1-1③多边形法则：已知ｎ个向量，依次把这ｎ个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，第ｎ个向量的终点为终点的向量叫做这ｎ个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.(2)向量加法的几何意义向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.(3)向量加

4、法的运算律①交换律：a+b=b+a；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c).4.向量的减法(1)向量的减法是向量加法的逆运算，求两个向量的差要把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.(2)利用相反向量的定义：一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.(3)向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.5.向量的数乘(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，规定：λa的长度｜λa｜=｜λ｜·｜a｜.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.当λ=0或a=0时，λ

5、a=0.(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)向量数乘的运算律设λ、μ为实数，则①(λ+μ)a=λa+μa；②λ(μa)=(λμ)a；③λ(a+b)=λa+λb.6.向量的线性运算(1)向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.(2)向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加法、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中

6、都可以使用.7.平行向量基本定理定理：如果a=λb，则a∥b；反之，如果a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使得a=λb.8.轴上向量的坐标及坐标运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.轴没有规定原点，与我们以前学过的数轴不同.在轴上选一定点O作为原点，轴就成了数轴.取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上的任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=xe；反之，任意给定一个实数x，总能在轴l上作一个向量a=xe，x叫做a在轴l上的坐标(或数量)，向量e叫做轴l的基向量.(2)x的绝对值等于a的长；当a与e同向时，x是正数；当a与e反向时，x是负数.实数与轴上的向量建立了一一对应关

7、系.(3)向量相等：设a=x1e，b=x2e，当x1=x2时，a=b.即轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等.(4)两个向量的和：设a=x1e，b=x2e，则a+b=(x1+x2)e.即轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.注意：①给定轴上向量的坐标，求两向量的和变成了实数的运算；②向量的坐标常用AB来表示，即=ABe.表示向量，而AB表示数量，且有AB+BA=0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已