高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.2向量的加法学案新人教b版必修4

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1、2.1.2　向量的加法基础知识基本能力1．了解向量加法的引入背景．2．理解向量运算的三角形法则与平行四边形法则．(难点)3．掌握向量的加法运算及其几何意义．(重点)1．能正确表述向量加法的交换律和结合律，并能运用它们进行向量的运算、化简．(重点)2．能正确地选用三角形法则、平行四边形法则和多边形法则进行向量加法运算．(重点、易混点)1．向量加法的三角形法则已知向量a，b(如图)，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．【自主测试1】在△ABC中，＝a

2、，＝b，则a＋b等于(　　)A．B．C．D．答案：C2．向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量a，b(如图)，作＝a，＝b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．【自主测试2】在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是(　　)A．梯形B．矩形C．正方形D．平行四边形答案：D3．向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．【自主测试3】在五边形A1A2A

3、3A4A5中，＋＋＋＝__________.答案：4．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【自主测试4－1】在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)A．B．C．D．答案：D【自主测试4－2】下列等式不正确的是(　　)A．c＋d＝d＋cB．＝＋＋C．＋＝2D．a＋(a＋b)＝(a＋a)＋b答案：C1．对向量加法的理解剖析：(1)两个向量的和仍是一个向量．(2)当两个非零向量a与b不共线时，则a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且

4、a＋b

5、＜

6、a

7、＋

8、b

9、，这是三角形两边之和大于第三边的向量表示．(3)特殊位置关系的

10、两向量的和．①向量a与b共线且方向相同时，则a＋b的方向与a(或b)的方向相同，且

11、a＋b

12、＝

13、a

14、＋

15、b

16、，如图(1)所示．②向量a与b反向且

17、a

18、＜

19、b

20、时，则a＋b的方向与b的方向相同(与a的方向相反)，且

21、a＋b

22、＝

23、b

24、－

25、a

26、，如图(2)所示．③在求n个向量a1，a2，…，an的和时，把这n个向量依次首尾相连，若第n个向量an的终点与第一个向量a1的始点重合，则这n个向量的和为零向量，即a1＋a2＋…＋an＝0.知识拓展三角形的中线公式与重心公式：①在△ABC中，若点D为BC的中点，则＝(＋)．②在△ABC中，若点G为△ABC的重心，则＋＋＝0.2．向量加

27、法与实数加法的异同剖析：讨论两种运算的异同，主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析．(1)运算法则：向量加法法则主要指三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是数的运算．(2)运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数．(3)运算律：向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则来验证．(4)运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则．3．教材中的“思考与讨论”在求作两个向量和时，你可

28、能选择不同的始点求和，你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，显然，作出的向量和都是相等的．当然，这里你的“显然”是对的．你能根据下图逻辑地证明这个结论吗？剖析：如图所示，将向量平移到向量，则＝.同理＝.由＝知，四边形AA′B′B为平行四边形，则AA′BB′.由＝知，四边形BB′C′C是平行四边形，则BB′CC′，所以AA′CC′，即四边形AA′C′C为平行四边形，则ACA′C′.又与的方向相同，所以＝.即选择不同的始点作出的向量和都相等．题型一作图法求向量和【例题1】已知向量a，b，c，如图，运用三角形法则求作a＋b＋c.分析：→→→解：在平面

29、内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.反思(1)根据向量加法的三角形法则，必须平移向量使之首尾相连，那么始点与终点所确定的向量就是两个向量的和向量，推广到向量加法的多边形法则仍然适用．(2)向量加法的平行四边形法则，必须平移向量使之共始点，以这两个向量为邻边作平行四边形，那么过始点的对角线为两个向量的和向量．〖互动探究〗若本例中的向量a，b，c不变，如何运用平行四边形法则求作a＋b＋c?解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作▱OAMB，如图，则由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同