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《高中数学第二章平面向量21向量的线性运算知识导航学案新人教b版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、知识梳理1.向量的概念与表示(1)向量：具有大小和方向的量称为向量•看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向这两个要素.(2)向量的模：向量的长度叫做向塑的模，向量a的模记作Ia丨.(3)特殊的向量零向量：模是零的向量叫做零向量，记作0,其方向不确定，它可以朝向任意方向.单位向量：给定一个非零向量a,则与a同方向且长度为1的向量，叫做向量a的单位向量.(4)向量的表示方法儿何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.字母表示：用单个斜黑体的小写英文字母表示，通常印
2、刷体如a、b、c、…，而手写体用带箭头的小写字母表示如方、b.c.…，此时应特别注意；字母上必须加箭头；还可用两个大写英文字母表示，先写始点，后写终点，字母上面要带箭头•例如：始点为A,终点为B的向量表示为AB.2.向量间关系(1)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，即相等的向量.(2)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作-a.⑶共线(平行)向豊通过有向线段的直线，叫做向量AB的基线.如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.3.向量的加法(1)向量加法法则①三角形法
3、则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使其起点与另一向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图2-1-1)，作AB=a,AD=b.则A、B、D三点不共线，以AB.AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC=a+b,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.AB图2-1-1③多边形法则：已知n个向量，依次把这n个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点,第n个向量
4、的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则•多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.(2)向量加法的几何意义向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的儿何意义.(1)向量加法的运算律①交换律：a+b二b+a；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c).1.向量的减法(1)向量的减法是向量加法的逆运算，求两个向量的差要把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.(2)利用相反向量的定义：一
5、个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.(3)向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图.2.向量的数乘⑴实数入与向量a的乘积是一个向量，记作入a,规定：入a的长度丨入aI二I入丨・IaI.若aHO,当入＞0时，入a的方向与a的方向相同；当入V0时，入a的方向与a的方向相反.当入二0或a二0时，入a二0.(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)向量数乘的运算律设入、卩为实数,则①(入+u)a二入a+ua；②入(ua)二(入u)a；③入(a
6、+b)=Xa+入b.3.向量的线性运算(1)向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.(2)向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加法、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的•不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算屮的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.4.平行向量基本定理定理：如果a=Xb,则a//b；反之，如果a〃b(bHO),则一定
7、存在一个实数入，使得a二Xb.5.轴上向量的坐标及坐标运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.轴没有规定原点，与我们以前学过的数轴不同•在轴上选一定点0作为原点，轴就成了数轴.取单位向量e,使e的方向与轴1的方向相同，对轴上的任意向量a,—定存在唯一实数x,使a=xe；反之，任意给定一个实数x,总能在轴1上作一个向量a二xe,x叫做a在轴1上的坐标(或数量)，向量e叫做轴1的基向量.(2)x的绝对值等于a的长；当a与e同向时，x是正数；当a与e反向时，x是负数.实数与轴上的向量建立了一一对应关系.(3)向量
8、相等:设a=xie,b=x2e,当xi=x2时,a=b.即轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等.(4)两个向量的和：设a=xie,b=x2e,则a+b=(xi+x2)e.即轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.注意：①给定轴上向量的坐标，求两向量的和变成了实数的运算；②向量AB的坐标常用AB来表示，即AB=ABe.AB表示向量，而AB表示数量，且有AB+BA二0.⑸轴上向量的坐
