高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程学案新人教b版选修2

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1、2.4.1　抛物线的标准方程1．掌握抛物线的定义，理解焦点，准线方程的几何意义．2．能够根据已知条件写出抛物线的标准方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的________的点的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线．抛物线定义中的定点F不在定直线l上，否则点的轨迹不是抛物线，而是过点F与l垂直的一条直线．2．抛物线的标准方程方程y2＝±2px，x2＝±2py(p＞0)叫做抛物线的______方程．(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐

2、标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．(2)抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．(3)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．(4)抛物线x2＝－2py(p＞0)的焦点坐标是，它的准线方程是y＝，它的开口方向______．抛物线y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)的焦点在一次项字母

3、所对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定，当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；系数为负时，开口向坐标轴的负方向．【做一做】若抛物线的焦点为(1,0)，则抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．无法确定1．抛物线的图象是双曲线的一支吗？剖析：虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”，但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支．当抛物线上的点趋向于无穷远时，曲线上点的切线接近于和对称轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，曲线上的点的切线接近于与渐近线平行；抛物线没有渐近线；从方

4、程上看，抛物线方程与双曲线方程有很大差别．2．如何确定抛物线的标准方程？剖析：确定焦点在哪个坐标轴上或平行于坐标轴的哪条直线上，开口方向，焦参数p.过焦点作准线的垂线段，垂线段的中点为抛物线的顶点．题型一抛物线的标准方程【例1】已知抛物线C过点(2，－4)，求抛物线的标准方程．分析：已知抛物线过一个点，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上来讨论．反思：题目没有明确焦点在x轴上还是在y轴上，所以可以不考虑开口方向，设抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay，将点(2，－4)代入求出a.题型二抛物线定义的应用【例2】过抛物线

5、y＝4x2的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝5，求线段AB的长．分析：先把方程化为标准方程，即x2＝y，再由抛物线的定义得到答案．反思：过焦点的直线被抛物线截得的线段叫焦点弦，焦点与抛物线上的点的连线叫焦半径．抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M(x0，y0)，过该点的焦半径为x0＋.题型三根据抛物线的方程求焦点坐标和准线【例3】已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程：(1)y2＝8x；(2)x＝ay2(a≠0)．分析：将方程化为标准形式，求p，结合图形，从

6、而求得焦点坐标与准线方程．1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)A．B．C．

7、a

8、D．－2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A．B．C．－D．－3．(2010·福建高考，理2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为(　　)A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝04．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点到y轴的距离是__________．5．已知点P(1

9、，－2)在抛物线y2＝2px上，求点P到抛物线焦点的距离．答案：基础知识·梳理1．距离相等　定点F　定直线l2．标准　(1)　x＝－　向右　(2)　x＝　向左　(3)　y＝－　向上　(4)向下【做一做】C　∵焦点(1,0)在x轴的正半轴上，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.故选C.典型例题·领悟【例1】解：当焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2＝ax，将(2，－4)代入得a＝8，故所求方程为y2＝8x；同理，当焦点在y轴上时，求得抛物线方程为x2＝－y.所以满足条件的抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.【例2】解

10、：将抛物线方程化为x2＝y，设焦点为F，

11、AF

12、＝y1＋，

13、BF

14、＝y2＋，p＝，

15、AB

16、＝

17、AF

18、＋

19、BF

20、＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝.【例3】解：(1)因为2p＝8，所以p＝4，开口向右，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.(2)因为原抛物线的方程可化为y2＝x，所以2p＝，所以＝.当a＞0时，焦点坐标为，准线方程为x＝－；当a＜0时，焦点坐标仍为，准线方程仍为x＝－.随堂练习·巩