2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案（含解析）新人教B版选修2-1

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1、2.4.1　抛物线的标准方程学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一　抛物线的定义1．平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．知识点二　抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线

2、的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)2．拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离．(　√　)3．拋物线的方程都是二次函数．(　×　)4．抛物线的开口方向由一次项确定．(　√　)题型一　求抛物线的标准方程例1　分别求符合下列

3、条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线的方程解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以

4、抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.反思感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线的方程解　(1)易知抛物线

5、的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知

6、m

7、＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.题型二　抛物线定义的应用命题角度1　利用抛物线定义求轨迹(方程)例2　已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．考点　抛物线的定义题点　抛物线定义的直接应用解　设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义

8、可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.反思感悟　解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2　已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．考点　抛物线的定义题点　抛物线定义的直接应用解　设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则

9、MA

10、＝

11、MN

12、，即动点M到

13、定点A(3,0)和定直线l：x＝－3的距离相等，∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.命题角度2　利用抛物线定义求最值例3　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求

14、PA

15、＋

16、PF

17、的最小值，并求此时P点坐标．考点　求抛物线的最值问题题点　根据抛物线定义转换求最值解　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x