高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数学案苏教版必修4

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1、3.2二倍角的三角函数典题精讲例1求下列各式的值：(1)coscos；(2)(cos-sin)(cos+sin)；(3)-cos2；(4)cos215°.思路解析：灵活运用二倍角公式，如(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后由逆用倍角公式；(3)中提取系数2后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.解：(1)coscos=cossin=×2cossin=sin=；(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=；

2、(4)cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=.绿色通道：根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，这当中一定要整体考虑式子的特征.变式训练1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思路解析：由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法1：sin10°sin30°s

3、in50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=解法2：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，因为M·N=（sin10°cos10°）(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°)=sin20°sin60°sin100°sin140°=cos10°cos30°cos50°cos70°=N所以M=，即sin10°sin30°sin50°sin70°=.例2已知sin(+α)sin(-α)=，且

4、α∈(，π)，求sin4的值.思路解析：发现+α与-α的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.解：因为(+α)+(-α)=，所以sin(-α)=cos(+α).因为sin(+α)sin(-α)=，所以2sin(+α)cos(+α)=，即sin(+2α)=.所以cos2α=.又因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π).所以sin2α=.所以sin4α=2sin2αcos2α=.绿色通道：通过角的形式的变化，生成所求

5、的角或再加变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉.变式训练2设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于()A.B.C.D.思路解析：本题中的显然是的一半，可以直接应用公式，首先根据θ的范围确定要求的的范围，然后确定sin的正负.∵5π＜θ＜6π，∴＜＜3π,＜＜，∴sin=答案：D例3求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ.思路解析：观察所给式子中的角，显然应考虑将转化为θ，再进一步转化为2θ的三角函数.证明：左边=4sinθ·cos2=2sinθ·(1+cosθ)=

6、2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边.本题也可从右到左，即2sinθ+sin2θ=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ(1+cosθ)=2sinθ·2cos2=4sinθcos2.绿色通道：证明等式成立，常有以下方法：从左到右；从右到左；两边到中间，但总的原则是从繁到简，从复杂到简单..变式训练3（2006湖南高考，文16）已知sinθ-·cosθ=1,θ∈(0,π),求θ的值.思路解析：三角函数的性质和三角变换的知识是高考的常考点，应力争在这方面全面过关.应避免未能正确运用诱导公式

7、导致变换出错.解：由已知条件得sinθ-·cosθ=1.即sinθ-2sin2θ=0.解得sinθ=或sinθ=0.由0＜θ＜π知sinθ=，从而θ=或θ=.例4设25sin2x+sinx-24=0，x是第二象限角，求cos的值.思路解析：先解方程获得sinx的值，再根据角x的范围确定sinx以及的象限，最后利用半角公式得到cos.解：因为25sin2x+sinx-24=0，所以sinx=或sinx=-1.又因为x是第二象限角，所以sinx=，cosx=.又是第一或第三象限角，从而cos=±.绿色通道：利用半角公

8、式求角的三角函数值的时候，首要任务是确定角的范围，如果角的范围不能具体确定,三角函数的符号则要考虑带着正负号.变式训练4（2006北京高考，文15）已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=，求f(α)的值.思路解析：本题通过借助函数的相关性质，结合三角函数的基本计算解答.解题时应当注意三角函数在各个象限的符号问题.以免出错.解：