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《高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数导学案苏教版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2二倍角的三角函数课堂导学三点剖析1.二倍角公式应用初步【例1】（1）求coscos的值；（2）求cos20°·cos40°·cos80°；（3）求的值.思路分析：本题主要涉及给角求值问题，应充分利用倍角公式及变形形式，抓住题目中各角之间的关系.解：（1）coscos=cossin=·2cossin=sin=.（2）原式===.（3）===温馨提示对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据、两角互余，将cos换成sin，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间
2、具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以sin20°，便可逆用二倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值.2.二倍角公式的变形应用【例2】设sin（-x）=,0＜x＜,求的值.思路分析：注意到角之间的关系，2x是x的二倍角，-x与+x互为余角，是特殊角.解法1：∵0＜x＜,∴0＜-x＜,∴cos(-x)==.又cos（+x）=sin(-x)=,∴原式===2cos(-x)=.解法2：cos2x=cos2x-
3、sin2x=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=sin(x+)·cos(x+)=2sin(x+)cos(x+).∴原式==2sin(x+)=2cos(-x).后面同解法一.温馨提示仔细分析角与角的关系，如-x与+x互为余角；2x是x的倍角，且cos2x=sin(±2x)=sin［2（±x）］.分析角的关系，往往是解题的突破口.3.二倍角变形应用【例3】（1）化简；（2）设α∈（，2π），化简解：（1）原式==2
4、sin4+cos4
5、+2
6、cos4
7、.因为4∈（π，），所以sin4＜0,co
8、s4＜0.故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4=-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）.（2）因为α∈（，2π），所以cosα＞0，cos＜0.故，原式=温馨提示（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1±sinα=（sin±cos）2，1±cosα=2cos2.（2）脱掉根号时要注意符号问题，如
9、cos
10、，利用α所在的象限，判断cos的正负，然后去掉绝对值
11、符号.各个击破类题演练1化简.（1）cos72°·cos36°；（2）cosα·cos·cos·cos·…·cos.思路分析：对于（1）要注意72°=2×36°；对于（2）要注意（k=1，2，…，n）.注意到以上的特点，可同乘除一个恰当的因式，然后用倍角公式解之.解：（1）cos36°·cos72°===.（2）原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式解得原式=.变式提升1已知θ∈（，），
12、cos2θ
13、=，则sinθ的值是（）A.B.C.D.思路分析：∵θ∈（，），∴sinθ＜0，且2θ∈（，3π）
14、，∴cos2θ＜0.∵
15、cos2θ
16、=，∴cos2θ=.由cos2θ=1-2sin2θ，得sin2θ==，∴sinθ=.答案：D类题演练2已知sinα+cosα=,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值.解：∵sinα+cosα=,∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=,∴sin2α=-且sinαcosα=＜0.又∵0＜α＜π,sinα＞0,∴cosα＜0,∴sinα-cosα＞0.∴sinα-cosα=,∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-
17、sinα)=×()=.tan2α=.变式提升2化简.解法1：原式====.解法2：原式=====.类题演练3等于()A.-2cos5°B.2cos5°C.-2sin5°D.2sin5°解析：原式===2（cos50°-sin50°）=2sin（-5°）=-2sin5°，故选C.答案：C变式提升3已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，],求f（x）的最大值、最小值.解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=
18、（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x=cos2x-sin2x=cos（2x+），所以f（x）的最小正周期T==π.（2）因为0≤x≤，所以≤2x+≤.当2x+=时，cos（2x+）取得最大值；当2x+=π时，cos（2x+）取得最小值-1.所以f（x）在[0，]上的最大值为1，最小值为.
