高中数学第一章基本初等函数ii1.3三角函数的图象与性质1.3.2余弦函数正切函数的图象与性质第1课时学案新人教b版必修4

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1、1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质基础知识基本能力1.掌握“五点法”作余弦函数的图象.(重点)2.理解余弦函数的性质.(重点、难点)1.会求余弦函数的周期、单调区间及最值.(重点、难点)2.能正确使用“图象变换法”作出余弦函数y=cosx和y=Acos(ωx+φ)的图象.(重点、易错点)1.余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移个单位就可以得到余弦函数的图象.余弦函数y=cosx的图象叫做余弦曲线.(2)余弦曲线.除了上述的平移法得到余弦曲线,还可以用:①描点法:按照列表,描点,连线顺序可

2、作出余弦函数图象的方法.②五点法:观察余弦函数的图象可以看出,(0,1),,(π,-1),,(2π,1)这五点描出后,余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了.【自主测试1】画出函数y=-cosx,x∈[0,2π]的简图.分析:运用五点作图法,首先要找出起关键作用的五个点,然后描点连线.解:列表:x0π2πcosx10-101-cosx-1010-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得y=-cosx,x∈[0,2π]的简图,如图所示.2.余弦函数的性质函数y=cosx定义域R值域[-1,1]奇偶性偶函数

3、周期2π单调性在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数;在每一个闭区间[(2k+1)π,2(k+1)π](k∈Z)上都是增函数最大值与最小值当x=2kπ(k∈Z)时,y=cosx取得最大值1;当x=2kπ+π(k∈Z)时,y=cosx取得最小值-1名师点拨一般地,函数y=Acos(ωx+φ)(x∈R)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为T=.今后,可以使用这个公式直接求这类函数的周期.【自主测试2-1】函数y=2cosx+1的最大值和最小值分别是(  )A.2,-2B.3,-1C.1,-1D

4、.2,-1答案:B【自主测试2-2】已知函数f(x)=sin(x∈R),下列结论错误的是(  )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数解析:∵f(x)=sin=-cosx(x∈R),f(-x)=f(x),∴函数f(x)是偶函数.答案:D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系剖析:正弦函数余弦函数区别奇偶性奇函数偶函数递增区间(k∈R)[(2k+1)π,2(k+1)π](k∈Z)递减区间(k∈Z)[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)对

5、称中心(kπ,0)(k∈Z)(k∈Z)对称轴直线x=kπ+(k∈Z)直线x=kπ(k∈Z)联系(1)定义域都是R,值域都是[-1,1];(2)最小正周期都是2π;(3)图象形状相同,只是在坐标系中的位置不同;(4)sin2x+cos2x=1题型一用“五点法”作函数y=Acos(ωx+φ)的图象【例题1】用“五点法”画出函数y=2cos2x的简图.分析:先找出此函数图象上的五个关键点,画出其在一个周期上的函数图象,再进行扩展得到在整个定义域内的简图.解:因为y=2cos2x的周期T==π,所以先在区间[0,π]上按五个关键点列表

6、如下.x0π2x0π2πcos2x10-1012cos2x20-202描点,并用光滑的曲线将它们连接起来如下图.然后把y=2cos2x在[0,π]上的图象向左、右平移,每次平移π个单位长度,则得到y=2cos2x在R上的简图如下.反思在用“五点法”画出函数y=Acos(ωx+φ)的图象时,所取的五点应由ωx+φ=0,,π,,2π来确定,而不是令x=0,,π,,2π.题型二三角函数的图象变换【例题2】函数y=sin2x的图象可由y=cos的图象平移得到,若使平移的距离最短,则应(  )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度

7、C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析:y=cos=sin=sin=-sin=sin=sin=sin,故函数y=sin2x的图象可由y=cos的图象向右平移个单位长度得到.故选D.答案:D反思一定要注意看清变换的顺序,即看清是以哪个函数图象作为基准.题型三函数的定义域问题【例题3】求函数y=+lgcosx的定义域.分析:首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组,然后分别求解,最后求交集即可.解:要使函数有意义,只需即利用数轴求解,如图所示:所以函数的定义域为∪∪.反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简

8、捷、清晰,但要注意区间的开闭情况.题型四余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y=cosx,x∈的值域;(2)求函数y=的最值;(3)求函数y=3cos2x-4cosx+1,x∈的值域.分析:(1)结合y=cosx的图象在区间上先增后减即可求解;(2)利用

9、cosx

10、≤1

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