高中数学第一章基本初等函数ii1.3三角函数的图象与性质1.3.2余弦函数正切函数的图象与性质课堂导学案新人教b版必修4

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1、1.3.2　余弦函数、正切函数的图象与性质课堂导学三点剖析一、图象问题余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到,也可以仿照正弦函数图象的作法,使用“五点法”;正切函数的图象是由单位圆中的正切线作出的,即几何法.正切函数的图象不连续,只在区间(kπ-,kπ+)上有图象,正切函数图象关于中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.【例1】用“五点法”画下列函数的简图.y=-cosx,x∈［0,2π］.画法一:按五个关键点列表:x02πCosx10-101-cosx-1010-1描点画图(如图所示):画法二:先用五点法画y=cosx的图象,再作它关于x轴的对称图形.图象如上图.温馨提示类似于正弦

2、函数,也可以由y=cosx变换为y=Acos(ωx+φ),x∈R,并讨论其周期性,单调性,奇偶性等.各个击破类题演练1作出函数y=tan()在一个周期内的图象是()解析:首先函数的周期为2π,可排除B,D,其次当x=时,函数无意义,又可排除C.答案:A变式提升1在区间(,)范围内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（）A.1B.2C.3D.4解法一:在同一坐标系中,首先作出y=sinx与y=tanx在(-,)内的图象,需明确x∈(0,)时,有sinx

3、有三个交点.所以应选C.解法二:x∈(-,),即sinx=tanx=,sinx(1-)=0,sinx=0或cosx=1.在x∈(-,)内x=-π,0,π满足sinx=0,x=0满足cosx=1,所以交点个数为3.所以应选C.答案:C二、定义域与值域余弦函数y=cosx与y=sinx的定义域,值域一样,从图象上看是夹在两直线y=±1之间,故是有界的,利用有界性可以解决与余弦函数有关的问题;正切函数的定义域是{x

4、x≠kπ+,k∈Z},值域是R,图象只有增区间,无减区间,整个定义域不具备单调性.【例2】求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=解：(1)将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐

5、标系内,如图所示.由图显然可得函数定义域集合为{x

6、2kπ≤x<2kπ+,k∈Z}∪{x

7、x=2kπ+π,k∈Z}.(2)由可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集,如图所示,即∴定义域为{x

8、2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z}.类题演练2求函数y=tan(2x+)的定义域.思路分析:把2x+作为一个整体，转化为求y=tanx的定义域的问题.解：令z=2x+,根据y=tanz的定义域为{z

9、z≠kπ+,k∈Z},得2x+≠kπ+,于是x≠+.所以y=tan(2x+)的定义域为{x

10、x≠+,k∈Z}.变式提升2解答下列各题：（1）求函数f(x)=tanx·cosx的定义域与值域

11、；（2）求函数f(x)=tan

12、x

13、的定义域与值域，并作其图象．思路分析:先化简函数,然后确定.解:(1)其定义域是{x

14、x∈R且x≠kπ+,k∈Z}．由f(x)=·cosx=sinx∈(-1,1)，∴f(x)的值域是(-1,1)．（2）f(x)=k∈Z．可知，函数的定义域为{x

15、x∈R且x≠kπ+,k∈Z}，值域为(-∞,+∞)，其图象如图所示.温馨提示(1)为了画出函数图象,有时需对给出的函数式进行变形,化简,在变形,化简过程中一定要注意等价变形,否则作出的图象不是给出函数的图象.(2)由图象可以看到f(x)=tan

16、x

17、不是周期函数.三、周期,单调性问题根据诱导公式知y=cosx

18、的周期T=2π,y=tanx的周期为π.求函数的单调区间和判断函数的单调性常用的方法是:定义法和图象法.利用单调性可以比较三角函数值的大小,也可以求函数的值域等.【例3】已知函数f(x)=asin(kx+),g(x)=btan(kx-),k>0.若它们的周期之和为，且f()=g(),f()=g()+1,求这两个函数.思路分析:先求出f(x)、g(x)的周期，再用待定系数法求a,b.解：由f(x)、g(x)的周期之和为,得+=,∴k=2.∵f()=asin(2×+)=-asin=a,g()=btan(2×-)=-btan=b,由f()=g(),得a=b,即a=2b.①又f()=asin(

19、2×+)=acos=a,g()=btan(2×-)=bcot=b.由f()=g()+1,得a=×b+1,即a=-2b+2.②由①②联立方程组，解得a=1,b=.∴f(x)=sin(2x+),g(x)=tan(2x-).温馨提示求三角函数的周期，通常把它转化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.周期的大小仅与x的系数ω有关，用公式T=就可求出周期.类题演练3试把tan1、tan2、tan3、tan4按照从小到大的顺序排列，并说明理由.解法一：∵函