高中数学第一章基本初等函数ii1.3三角函数的图象与性质1.3.2余弦函数正切函数的图象与性质第2课时学案新人教b版必修4

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1、1.3.2　余弦函数、正切函数的图象与性质第二课时　正切函数的图象与性质基础知识基本能力1．理解正切函数的性质．(重点)2．了解正切函数的周期性．(易混点)1．会求正切函数的定义域、值域及周期．(重点)2．会用函数的图象和性质解决复杂的综合问题．(重点、难点)函数y＝tanx的图象与性质函数y＝tanx图象定义域值域实数集R周期π奇偶性奇函数单调性在每一个开区间(k∈Z)内都是增函数名师点拨对于正切函数的一些相关性质不能由正弦、余弦函数的结论推广得到，需论证后加以应用，例如，y＝

2、sinx

3、的周期是y＝sinx的周期的一半，而y＝

4、tanx

5、与y＝tanx的周期却相同，均为π.【自主测试1

6、】函数f(x)＝tan的单调增区间为(　　)A．，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．，k∈ZD．，k∈Z解析：令kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，解得函数f(x)的单调增区间为kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)．答案：C【自主测试2】函数y＝的定义域是__________．解析：要使函数y＝有意义，则有即x≠kπ－，且x≠kπ＋(k∈Z)．故函数y＝的定义域为.答案：1．正切函数与正弦函数、余弦函数的比较剖析：正切函数y＝tanx，x≠kπ＋，k∈Z，其定义域不是R，又正切函数与正弦函数、余弦函数对应法则不同，因此一些性质与正弦函数、余弦函数的性质有了较大的差别．如正弦函数、余弦函数是有

7、界函数，而正切函数不是有界函数；正弦函数、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线x＝kπ＋，k∈Z，图象被这些渐近线分隔开来；正弦函数、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是增函数．它们也存在大量的共性：如均为周期函数，且对y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)而言，T＝，y＝tanx是奇函数，它的图象既可以类似地用正切线的几何方法作图，又可以用类似于“五点法”的“三点两线法”作简图，这里三个点为(kπ，0)，，，两线为直线x＝kπ＋(k∈Z)，直线x＝kπ－(k∈Z)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到

8、y＝tanx在一个周期上的简图．正弦函数、余弦函数与正切函数都是中心对称图形(注意正弦、余弦函数同时也是轴对称图形)．2．教材中的“思考与讨论”正切函数在整个定义域内都是增函数吗？剖析：正切函数在整个定义域内不是增函数，可取特殊值来说明．例如取x1＝，x2＝，显然x1＜x2，但y1＝tan＝1，y2＝tan＝－，y1＞y2，不符合增函数的定义．题型一求函数的定义域【例题1】求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．解：由题意得即－1≤tanx＜1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y＝tanx的周期为π，所以所求x的范围是(k∈Z)，即此函数的定义域为(k∈Z)．反思求三角函数式

9、的定义域，可转化为解三角函数的不等式，利用三角函数的图象直观地求得解集．题型二求函数的值域或最值【例题2】(1)求y＝tan2x＋4tanx－1的值域；(2)若x∈，y＝k＋tan的值总不大于零，求实数k的取值范围．分析：(1)设t＝tanx，则转化为关于t的二次函数求最值．(2)由y≤0得k≤－tan，因此，只要求出tan的范围即可．解：(1)设t＝tanx，则y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，故y＝tan2x＋4tanx－1的值域为[－5，＋∞)．(2)由y＝k＋tan≤0，得k≤－tan＝tan.∵x∈，∴2x－∈.由正切函数的单调性得0≤tan≤.故要使k≤tan恒成立，

10、只要k≤0.即实数k的取值范围为(－∞，0]．反思(1)与二次函数有关的三角函数问题，常常使用“换元法”．(2)解决恒成立问题常常使用“分离常数法”．题型三利用函数图象研究性质【例题3】画出函数y＝

11、tanx

12、的图象，并根据图象判断其奇偶性、单调区间、周期性．分析：解决本题的关键是画出y＝

13、tanx

14、的图象，由函数图象研究其性质．解：y＝

15、tanx

16、的图象如下图所示．由图可得，函数y＝

17、tanx

18、是偶函数，单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.反思(1)作函数y＝

19、f(x)

20、的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；②将函数

21、y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，扩展到定义域上即可．题型四易错辨析【例题4】若A＝{x

22、tanx＞0}，B＝{x

23、＋≥0}，试求A∩B．错解：由＋≥0，得即解得所以tanx≥.所以B＝.所以A∩B＝.由tanx≥，解得x≥kπ＋，k∈Z.所以A∩B＝.错因分析：误认为正切函数是R上的增函数，而忽视了其周期性及定义域等性质，正切函数应该是在每