高中数学《解三角形》学案1 北师大版必修5

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1、解三角形【学法导航】处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解1.三角形中的边角关系三角形内角和等于180°；三角形中任意两边之和大小第三边，任意两边之差小于第三边；三角形中大边对大角，小边对小角；正弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC，其中R是△ABC外接圆半径.在余弦定理中:2bccosA=.三角形的面积公式有:S=ah,S=absinC,S=其中，

2、h是BC边上高，P是半周长.2.利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.已知三边，求三个角，常选用余弦定理.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.3.利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边.4.解斜三角形在实际中的运用5．三角形的面积公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝ac

3、sinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。6.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必

4、要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列【专题综合】1.正弦定理与余弦定理例1．已知ABC中，A，,求分析：可通过设一参数k(k>0)使,证明出解：设则有，，从而==又，所以=2小结：ABC中，等式恒成立。[补充练习]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）（归纳总结）：（1）定理的表示形式：；或，，（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角例2．在ABC中，已知，，，求b及A解：∵=cos==8∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴评述：解

5、法二应注意确定A的取值范围。例3．在ABC中，已知，，，解三角形解：由余弦定理的推论得：cos；cos；小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。2.三角形中的几何计算例4.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.(1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.解析：小结：正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.例5.在△ABC中,已知=a,b=,B=45°,求A、C及c.分析：这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用

6、正弦定理求解，但先要判定△ABC是否有解，有几解，亦可用余弦定理求解.解：∵B=45°<90°,且b

7、析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴=sin