高中数学《命题及其关系》学案2 新人教a版选修1-1

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1、四种命题要点回顾四种命题及其关系虽是高考命题的内容之一，但一般不单独命题，主要以选择题和填空题的形式出现，往往和其它知识结合起来进行考查。1．四种命题：把命题“若p则q”作为原命题，对它的条件p和结论q作“换位”和“换质（否定）”，又可以得到三种不同形式的命题。关于逆命题，否命题与逆否命题，也可以如下表述：（1）p、q“换位”：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（2）p、q“换质”：同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（3）p、q“换位”且“换质”：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。

2、2．四种命题之间的关系：互逆命题，互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题，否命题与逆否命题。四种命题之间的关系如图所示：3．四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。例1判断命题“若，则有实数根”的逆否命题的真假。分析；可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解。解法1：∵，∴，∴。∴方程的判别

3、式，∴有实数根，∴原命题“若，则有实数根”为真。又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若，则有实数根”的逆否命题也为真。评注：本解法是直接进行逻辑推理判断的。解法2：原命题“若，则有实数根”的逆否命题为“若无实数根，则”。∵无实数根，∴，∴，∴“若无实数根，则”为真。评注：本解法从逆否命题入手直接判断。解法3：有实根，无实数根，∴，∵，∴“若则”为真，即“若无实数根，则”为真。评注：本解法是利用原命题与逆否命题等价关系判断的。例2试判断命题“若，或，则”的真假。分析：本题不易判断，可通过判断它的逆否命题来解决。解析：原命题为“若，

4、或，则”，则逆否命题为“若，则且”，显然这是一个假命题，故原命题是一个假命题。评注：当一个命题是否定形式的命题，且不宜判断真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的。练习：1．命题“若aA，则b∈B”的否命题是A若aA，则bBB若a∈A，则bBC若b∈B，则aAD若bB，则aA2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是A若A∪B＝B，则A∩B＝AB若A∩B≠A，则A∪B≠BC若A∪B≠B，则A∩B≠AD若A∪B≠B，则A∩B＝A3．将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p则q”的形式，并写出它

5、的逆命题、否命题与逆否命题。答案：1．B提示：注意“∈”的否定是“”2．C提示：注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”3．提示：原命题可以写成：若a是正数，则a的平方大于零；逆命题：若a的平方大于零，则a是正数；否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零；逆否命题：若a的平方不大于零，则a不是正数。