高中数学 §3.1.1空间向量及其加减运算学案 新人教a版选修2-1

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1、讲练学案部分§3.1.1空间向量及其加减运算.知识点一　空间向量的概念　判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，

2、因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，与共线，虽起点不同，但终点却相同.【反思感悟】　解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．　下列说法中正确的是(　　)A．若

3、a

4、＝

5、b

6、，则a、b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则

7、a

8、＝

9、b

10、C．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定有+=答案　B解析

11、a

12、=

13、b

14、，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故

15、a

16、=

17、b

18、，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一

19、般的四边形不具有+=，只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确.知识点二　空间向量的加、减运算　如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．（1）+；（2）+；（3）++；（4）++++;解（1）=.（2）（3）（4）【反思感悟】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0..已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式:(1)(2)解(1)==A(2)知识点三　向量加减法则的应用在如图所示的平行六面体中，求证：证明

20、　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴＝＋.∴=又由于＝，＝，∴＋＋=＋＋=＋＝，∴＋＋＝2.【反思感悟】在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量=,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则).在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段.（1）＋＋;；（2）;.解如图，（1）＋＋=;(2)=图中，为所求.课堂小结：1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形

21、法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a－b表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段．课时作业一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量的长度与向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为()A．2B．3C．4D．5答案

22、C解析①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．2.已知向量，，，，满足

23、

24、＝

25、

26、＋

27、

28、，则()A．＝＋B．＝－－C．与同向D．与与同向答案　D解析由

29、

30、=

31、

32、+

33、

34、=

35、

36、+

37、

38、,知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与与同向3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是（）A.B.C.D.答案A解析如图所示，因＝，－＝

39、－＝，＋＝，∴－＋＝.4．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A.＋＋＋＝0B.＋＋＋＝0C.＋＋＋＝0D.－＋＋＝0答案B解析如图所示，＋＋＋＝(＋)＋(＋)=＋＝0.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量的是（）①(－)－；②(＋)－；③（－)－2；④（－)＋.A．①②B．②③C．③④D．①④答案A(－)－＝－＝.(＋)－＝＋＝.∴①、②正确．二、填空题6.如图所示a，b是两