高中数学 3.2《简单的三角恒等变换》导学案 新人教a版必修4 (2)

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1、3.2《简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】1．会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2．使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力.【导入新课】习引入：复习倍角公式、、先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？新授课阶段半角公式的推导及理解：例1、试以表示．解析：解：点评：⑴以上结果还可以表示为：并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决

2、定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2求证：（１）；（２）．解析：证明：点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数的周期，最大值和最小值．解析：解：课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的

3、恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143习题3.2A组1、（1）（5）3、5拓展提升1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（）A．－B．－C．D．2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）A．－B．－C．D．4．已知

4、cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（）A．－B．－C．D．5．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形6．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）A．－B．－C．D．7．已知sin（α+β）sin（β－α）=m，则cos2α－cos2β等于（）A．－mB．mC．－4mD．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°

5、=_________．9．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________．三、解答题10．已知f（x）=－+，x∈（0，π）．（1）将f（x）表示成cosx的多项式；（2）求f（x）的最小值．12．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，，求cos的值．13．已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求证：（2cos2A+1）2=a2+b2．14．求证：cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）

6、=sin2α．15．求函数y=cos3x·cosx的最值．参考答案例1解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以a代2a，代a）解：因为，可以得到；因为，可以得到．两式相除可以得到．点评：⑴以上结果还可以表示为：并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特

7、点.例2：解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系.证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得；即；（２）由（１）得①；设，那么．把的值代入①式中得．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解：，所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，

8、它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．拓展提升一、选择题：1．C2．B3．D4．C5．B6．D7．B二、填空题：8．9．－三、解答题10．解：（1）f（x）==cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1．（2）∵f（x）=2（cosx+）2－，且－1≤cosx≤1，∴当cosx=－时，f（x）取得最小值－．11分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．解：由题设条件知B=60°，A+C=1