高中数学 1.2应用举例(第4课时)目标导学 新人教a版必修5

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1、第4课时　几何计算问题1．复习巩固正弦定理、余弦定理．2．能用正弦定理、余弦定理计算三角形的面积等．1．正弦定理【做一做1】在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于(　　)A．1B．2C．4D．无法确定2．余弦定理【做一做2】边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)A．90°B．120°C．135°D．150°3．几何计算问题在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)ha＝bsinC＝______；(2)hb＝csinA＝______；(3)hc＝asinB＝______；(4)S＝________.三角

2、形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：(1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)；(2)A＋B＋C＝π；(3)S＝aha(ha表示a边上的高)；(4)S＝(可用正弦定理推得)；(5)S＝2R2sinA·sinB·sinC(R是三角形外接圆的半径)；(6)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)；(7)海伦公式：S＝，其中p＝(a＋b＋c)．【做一做3－1】在△ABC中，已知C＝60°，b＝4，则BC边上的高等于(　　)A.B．2C．4D．6【做一做3－2】在△ABC中，a＝4，b＝2，C＝45°，则△ABC的面积S＝__________.答案

3、：【做一做1】A【做一做2】B3．(1)csinB　(2)asinC　(3)bsinA　(4)bcsinA【做一做3－1】D【做一做3－2】21．三角形中的常用结论剖析：在△ABC中，边、角之间的关系有以下常用结论：①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.②a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b.③A＋B＋C＝π.④a＞bA＞BsinA＞sinB.⑤a＝bA＝B.⑥A为锐角cosA＞0a2＜b2＋c2；A为钝角cosA＜0a2＞b2＋c2；A为直角cosA＝0a2＝b2＋c2.⑦sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC.⑧sin＝cos，cos＝sin.2．

4、解三角形剖析：解三角形有四种情况，如下表所示：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△ABC＝acsinB；在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角；S△ABC＝absinC；在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C；S△ABC＝absinC；在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋

5、C＝180°，求出角C；再利用正弦定理求出第三边c；S△ABC＝absinC；可有一解、两解或无解题型一求三角形的面积【例题1】在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(1)已知a＝3cm，c＝4cm，B＝30°；(2)已知A＝75°，C＝45°，b＝4cm.分析：(1)可根据面积公式S＝acsinB直接求解；(2)要求三角形的面积，需知道三角形的两边及其夹角．反思：求三角形面积，常结合正弦定理、余弦定理，只要求得三角形中的两边及其夹角即可求出面积．题型二证明三角恒等式【例题2】在△ABC中，求证：＝.分析：从左边证右边，化角为边或化边为角．题型三实际应用问题【

6、例题3】一块四边形土地ABCD的形状如图所示，∠ADB＝60°，∠BDC＝40°，∠BCD＝125°，AD＝10m，AB＝14m，求四边形土地的面积(精确到0.01m2)．分析：把四边形ABCD分割成△ABD和△BCD，分别求出这两个三角形的面积，其和即为所求．反思：实际问题中，在求不规则图形的面积时，常利用割补法，转化为求规则图形的面积．如本题分割成三角形．题型四易错辨析【例题4】已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长．错解：由S＝absinC，得5＝×4×5sinC，解得sinC＝，则C＝60°.由c

7、2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝a2＋b2－ab＝21，故c的长为.错因分析：由sinC＝求C时，忽视了C的范围，导致漏解．答案：【例题1】解：(1)依题意，由三角形的面积S＝acsinB，得S＝×3×4×sin30°＝3(cm2)．(2)根据正弦定理＝，得c＝，则S＝bcsinA＝b2.又B＝180°－(A＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°，故S＝×42×＝(cm2)．【例题2】证法一：化角为边左边＝＝·＝＝＝＝右边．证法二：化边为角左边＝＝＝＝＝右边.【例题3】解：在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·B