高等数学（B）(1)教学辅导2.doc

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1、高等数学（B）（1）教学辅导2——极限部分一、本章重点内容1、数列极限和函数极限的描述性概念2、极限的运算法则3、2个重要极限4、极限的计算5、无穷小的定义及性质6、函数连续性的定义二、重点、难点、疑点解析1．判定函数的极限是否存在？例1判定下列极限是否存在？（1）；（2），问（3），问解：（1）则∴不存在。（2）∵∴（3）∵∴2．判定函数在某一点是否连续？例2．（1）讨论函数在X=0处的连续性。（2）讨论函数在其定义域内的连续性。解：（1）∵∴f(x)在x=0处不连续。（2）函数f(x)的定义域为（-∞，+∞）。而

2、f(x)是一个分段函数，由分段函数的连续性可知，要讨论函数f(x)在定义域（-∞，+∞）内的连续性，只要讨论f(x)在分段点x=－1,x=1处的连续性。当x=－1时因此函数f(x)在x=－1处不连续。当x=1时因此函数f(x)在x=1处连续。例3a为何值勤时，函数在其定义域内连续？解：函数f(x)的定义域为（-∞，+∞）由分段函数的连续性可知，要讨论函数f(x)在定义域（-∞，+∞）内的连续性，只要讨论f(x)在分段点x=0处的连续性即a=1时，函数f(x)的定义域内连续。3．讨论函数间断点的类型例4求下列函数的间断

3、点，并指出其间断点的类型。（1）f(x)=x/ln

4、x+2

5、；(2)x2+x－2/x2－3x+2；（3）解：（1）由间断点的定义可知，当x=－3,x=－2,x=－1时，函数f(x)无定义，因此x=－3,x=－2,x=－1是函数f(x)的第二类间断点。（2）由间断点的定义可知，当x=1，x=2是函数f(x)的间断点。当x=2时，所以x=2是第二类间断点。当x=1时，所以x=1是函数f(x)第一类间断点。（3）函数f(x)在x=0处有定义，又因此x=0是函数f(x)的第一类间断点。4．比较无穷小量的阶例5当x→0时，下列

6、函数中哪些是x的高阶无穷小量？哪些是x的同阶无穷小量？哪些是x的等价无穷小量？（1）2x+tan3x；（2）；（3）。解：（1）∵∴2x+tan3x与x是同阶无穷小量。（2）∵∴与x是高阶无穷小量。（3）∵∴与x是等价无穷小量。例6已知当x→0时，与x2是等价无穷小量，求a。解：∵∴a=2时与x2是等价无穷小。5．函数极限的求法例7求下列极限（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）直接用求极限的四则运算法则求（2）这是“0/0”型的极限，不能直接用求极限的四则运算法则求，可考虑用第一个重要极限公式求（3）这是“0×∞

7、”型的极限，不能直接用求极限的四则运算法则求，可变形后再求（4）这是“0/0”型的极限，不能直接用求极限的四则运算法则求，可用初等方法消除分子、分母中的不定型因子样x－1，消除的方法是将分子分母分解因式。例8求下列极限（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）这是“∞-∞”型的极限，不能直接用求极限的四则运算法则求，可通分后再求（2）这是“∞/∞”型的极限，可化为无穷小量来处理，如果分式的分子和分母是关于x的多项式，只要将分式的分子和分母除以x的最高次幂即可（3）这是“1∞”型的极限，可用第二个重要极限公式求（4）这

8、是“0/0”型的极限，不能直接用求极限的四则运算法则求，可考虑有理化分子后，再用第一个重要极限公式求例9设，试确定b,c的值。解：显见分子也含不定型因子(x－1),故可令x2+bx+c=(1－x)(c－x)=x2－(1+c)x+c比较系数得b=－(1+c)再由题设6．判别方程在指定的区间上是否存在实根？（1）验证三次代数方程x3－4x2+!=0在开区间（0，1）内至少有一个实根。（2）证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，并且不超过a+b。解：（1）令y=f(x)=x3－4x2+!,显然f(

9、x)在[0,1]内连续∵f(0)=1>0,f(1)=－2<0根据闭区间内连续函数的零点定理可知在区间（0，1）内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0即代数方程x3－4x2+!=0在区间（0，1）内至少有一个根x=ξ。（2）令f(x)=x－asinx－b，显见它在[0，a+b]上连续，又f(0)=0－a×0－b=－b<0f(a+b)=a+b－asin（a+b）－b=a[1－sin（a+b）]≥0（ⅰ）若f(a+b)=0，则a+b就是题设方程的一个正根，结论成立；（ⅱ）若f(a+b)>0，则由零点定理知，至少存在一点ξ∈（0，

10、a+b），使得f(ξ)=0，即题设方程至少有一个正根，它不会超过a+b。