高等数学(B)(1)课程教学辅导(二)

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1、高等数学（B）（1）课程教学辅导（二）极限辅导学习要求1.理解数列极限和函数极限的概念。2.掌握极限的运算法则，了解级数概念。3.了解函数连续的概念，知道闭区间上连续函数的性质。4.会求一些数列和函数的极限。内容指导极限概念是微积分学中最重要、最基本的概念之一，也是微积分学的基础。理解了数列极限与函数极限的概念，掌握了极限运算，本章的其它一些概念，如函数的连续性等概念，也就容易了解它们的实质。因此，本章的重点是：理解数列极限和函数极限的概念，掌握极限的运算法则，而前者又是本章的难点。1．数列极限（1）数列的一些概念依照某中对应法则排列着的一列

2、数叫做数列，记作其中第项称为通项。知道了通项，该数列就容易写出，所以数列也可简表为如果与函数概念联系起来，那么数列是一种特殊的函数，即其自变量只取正整数的函数，称为整标函数。因此，又可以记为将数列看成整标函数，有利于将数列极限的概念引申到函数极限的概念。与函数的单调性、有界性概念联系起来，容易得到数列的单调性，有界性概念。设数列如果数列的项满足（即）就称是单调递增数列；如果数列的项满足（即）就称是单调递减数列。这两种数列统称为单调数列。如果数列的所有项的绝对值都小于某一个与无关的正数，即（）就称为有界数列；否则，称它为无界数列。例如，数列是有

3、界数列，因为对一切正整数都有又如，数列是单调有界数列。容易想象，当单调递增数列有界，或单调递减数列有界时，则在数轴上表示数列各项的点都朝着一个方向移动，而又不能超过某一界限，终究要聚集在某一点附近。于是，单调有界数列必定有极限。（2）理解数列极限的概念，可以遵循“几何直观描述定义精确定义”这样一个过程。例如，数列借助于图2.1看出：当项数无限增大时无限接近于1。我们就说，1为数列的极限，记作但是，观察的结果是否准确？需要用数量关系加以表达。否则，“无限增大”，“无限接近于1”都是含糊不清的。所谓当无限增大时无限接近1，无非是说，随着无限制的增

4、大，距离将任意地小。也就是说，无论你举出一个多么小的正数来（准备同距离作比较），当充分大时，距离一定会变得比你所举出的那个正数更小些。譬如，拿小正数同距离比较吧，当充分大时，例如当时，就有不等式倘若拿别的更小的正数同这个距离作比较，情况也是这样，当充分大时，例如当时，也有不等式如此等等。所以概括地讲，所谓“充分大时，距离可以任意地小”，指的是：对于任意给定的一个正数，不管它多么小，当充分大时（例如，总可以找到正整数当时）不等式恒成立。这样，数列的极限为1的含义就一步一步确切了：当无限增大时，无限接近于1.当充分大时，可以任意小.对于任意给定的

5、正数，不管它多么小，总存在一个正整数，使得当时，恒有一般地，有下列定义。定义如果对于无论怎样小的正数，总存在一个正整数，使得当时，不等式恒成立，则称常数是数列的极限，记作或如果为数列的极限，便说收敛于，一个数列如有极限，便说它是收敛的，否则称它为发散的。在定义中，和这两个量的作用在于：定量地刻画了（变量）和（常量）之间的接近程度。必须是任意的，并且一旦已经给定了，就要求一定存在一个相应的正整数，使时，不等式成立。因此，正整数是与正数相联系的。如果换成另一正数，那么，就要换成另一个正整数。一般来说，越小，与它相联系的就越大。（3）数列极限的几何

6、意义我们先介绍邻域的概念。设与是两个实数，且把满足不等式的实数的全体叫做的邻域，点叫做邻域的中心，叫做邻域的半径。容易看出，点的邻域就是以点为中心，而长度为的开区间。的几何意义是：对的任意邻域，总可以找到这样一个（数列的项数），当时（即自项以后），所有的点都落在该邻域内，而只有有限个（至多只有个），在这邻域以外（图2.4）。也就是说，不管多么小，点几乎全部聚集在点的近旁。可见，数列极限的“”定义，精确的描述了当无限增大时无限接近于的这种变化趋势。因此，称它为精确定义。1．函数极限（1）时的极限如果把数列看作整标函数，那么，函数极限与数列极限的

7、区别仅在于：在求极限时，函数的自变量取实数值，其值连续地无限增大；而数列的自变量只取正整数值，无限增大。例如，与的对应法则完全相同，只是自变量和取值范围不同。的含义是：函数的自变量取负实数值，且其绝对值无限增大时，函数无限接近于常数。当自变量取实数值，其绝对值无限增大时，函数无限接近于常数，就记作需要注意的是，包含了与这两种情况。因此，极限成立的充要条件是例如，设则成立的充要条件是（2）的极限包含了与两种情况。如图2.8所示，表示从的左侧趋向于，即，且；表示从的右侧趋向于，即，且。当从的左侧无限趋向于时，如果函数的值无限趋向于常数，则称为时函

8、数的极限（也称为函数在处的左极限），记作或类似地，当从的右侧无限趋向于时，如果函数的值无限趋向于常数，则称为时函数的极限（也称为函数在处的右极限），记作或当从的左、