高等数学复习提要.doc

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1、高等数学复习提纲第一章函数与极限复习重点：1、求极限1）四则运算法则注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个；四则运算法则的条件是充分条件有理分式函数求极限公式：2）两个重要极限3）两个准则准则一：准则二：单调有界数列必有极限单调递增有上界的数列其极限为最小的上界（上确界）单调递减有下界的数列其极限为最大的下界（下确界）4）无穷小量a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明自变量的变化趋势。唯一的例外是0永远是无穷小量；b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小；c.利用无穷小量求极限无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量等价无穷小量替代求极限

2、注意：下面给出关系式是在时才成立等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行2、连续性和间断点1）连续定义要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性2）间断点间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。3、闭区间上连续函数的性质1）最值定理：闭区间上连续函数的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的条件是充分条件，不满足结论不一定成立。2）零点定理：f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，则至少存在一点，使得。要求：和罗尔中值定理结合在一起判断根的唯一性。第二章

3、一元函数微分学复习重点：1、导数的定义要求，会利用导数的定义判断分段函数分段点处的可导性，以及利用导数定义求极限；2、导数的几何意义表示曲线f(x)在处切线的斜率要求会求切线方程法线方程；3、微分的定义（一点可微）；（点点可微）4、一元微分学中，可导、连续、可微三者之间的关系可导必可微，可微必可导；可导一定连续，连续不一定可导5、导数的计算a.复合函数求导b.高阶导数常见高阶导数公式如下：c.隐函数求导隐函数求导方法两边同时对x求导；注意y是关于x的函数；隐函数求导的结果还是隐函数；隐函数高阶求导时一阶求导结果要注意回带，以简化运算。d.对数求导法适用于幂指函数、无理分式

4、函数e.参数方程求导注意二阶导数6、求微分注意不要缺失dx第三章中值定理和导数的应用1、中值定理1）罗尔定理若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则至少存在一点，使得。注意：a)罗尔定理的条件是充分的，不满足条件结论不一定成立；b)罗尔定理的结论可理解为若f(x)满足罗尔定理三个条件，则导函数在开区间(a,b)至少有一根；强调了导函数根的存在性，但没指出到底有几个根；c)从罗尔定理可推出，若f(x)有n个根+连续+可导，则导函数至少有n-1个根；注意反之不成立；d)若导函数没有根，则f(x)至多一个根。2）拉格郎日定理若f(x)满足[a,b]连

5、续，(a,b)可导，则至少存在一点，使得。应用于不等式的证明和证明某个函数是一个常函数。3）柯西定理若f(x)，F(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，且则至少存在一点，使得。应用于等式的证明。2、洛必达法则洛必达法则应用于解决等不定型极限注意：极限不存在，此时洛必达法则不适用。3、利用导数判断函数的单调性，凹凸性，极值和拐点，会作图1）单调性的判定d、单调区间的分界点为：一阶导函数为0的点和一阶不可导点要求：会利用一阶导函数判断函数的单调区间；会利用单调性证明不等式；会利用严格单调性证明根的唯一性。2）凹凸性的判定定理：若f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上二阶

6、可导，在(a,b)内若，则f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)内若，则f(x)在[a,b]是凸的。3）拐点：凹凸区间的分界点拐点的疑似点：二阶导函数为0的点和二阶不可导点判定定理1：若f(x)在处可导，在内二阶可导，则当时，变号，就是拐点；当时，不变号，就不是拐点；判定定理2：若f(x)在处三阶可导，且则是拐点。注意，对于判定定理2，若结论是可能是拐点也可能不是拐点。4）极值极大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在，对，若，则称为f(x)的一个极大值，为f(x)的一个极大值点。极小值：设f(x)在(a,b)有定义，存在，对，若，则称为f(x)的一个极小值，为f(x)

7、的一个极小值点。最大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在，对任意，若，则称为f(x)的一个最大值，为f(x)的一个最大值点。注意：极值反映的函数局部的性质，它只是和极值点附近点的函数值相互比较而言它是大的还是小的，有可能出现极小值大于极大值的情况；而最值反映的是函数全局的性质，它是和整个区间上所有点的函数值相互比较。一个区间上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值点不唯一；而一个区间上极值是不唯一的，可以有几个极大值和极小值。在区间内部，最大值一定是极大值，最小值一定是极小值。极值点的疑似点：判定定理：驻点和一阶不可导点必要条