2010级《高等数学1》期末复习提要

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1、2010级《高等数学》期末复习提要《高等数学》是财经与管理专业的重要基础课，我们通过本期的认真学习，应做好期末总复习。现逐章给出复习的重点和具体要求。第一章函数极限与连续一、基本概念：函数：自变量x与因变量y的对应关系，记为y=f(x)定义域D：自变量的取值范围复合函数：函数为函数与函数的复合函数，其中称为中间变量。二、函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性.三、初等函数：1、基本初等函数：六种、12个常数函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数2、初等函数：由基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合

2、得到的函数称为初等函数。四、极限的基本形式:1、函数极限的描述性定义当函数在自变量的某一变化趋势下，函数值无限接近常数16，则称函数极限存在，极限值为，记为：2、函数极限的精确定义：设函数在点附近有定义，若对于任意正数，均存在正数，使当时，总有不等式成立，则称当时，极限存在，极限值为，记为：3、极限有七种基本形式五、极限计算的基本方法:1、初等函数在其定义域内连续，即2、极限的基本运算法则:若存在，则：3、两个重要极限注意:极限的抽象形式164、无穷大量与无穷小量①为无穷小量为无穷大量②为无穷小量为无穷大量③为等价

3、无穷小记为注：在乘积、商、乘方、开方的极限运算中，可进行等价代换，等价代换的常见公式有：5、有理分式函数求极限6、罗必达法则（见第四章）六、函数的连续性161、在点连续2、重要结论：初等函数在其定义域内连续3、间断点：不连续点七、例题:例1．设，求的定义域。解：由得2.函数，则（B）。（A）单调（B）有界（C）为周期函数（D）关于原点对称解：由函数性质可知。3．若，则，，。解：，，例2当时，下列函数那个是其它三个的高阶无穷小（）。（A）（B）（C）（D）解：因为与是同阶无穷小,而所以当时,是其它三个函数的高阶无穷小

4、,选择(D).16例3解：原式例4解：利用等价无穷小的性质计算：，原式例5解：解故第二章导数与微分一、导数的基本概念：1、定义：极限变化率2、导数定义公式：（1）导数记号：16（2）等价定义公式：其中：增量3、几何意义：切线的斜率切线方程：4、连续与导数的关系：可导必连续,连续不一定可导,不连续一定不可导.注意:分段函数可导与连续的讨论.二、导数的基本运算:1、导数的基本公式（14个）2、导数的运算法则163、复合函数求导：,则即：复合函数导数＝函数对中间变量求导×中间变量的导数4、隐函数求导：将视为中间变量，等式

5、两边对求导。5、分段函数求导方法（1）在分段点不连续不可导（2）在分段点连续时，使用导数定义求导6、高阶导数7.参数方程求导8.抽象函数求导注意求导符合的使用.三、函数微分1、定义：函数满足（无关，的高阶无穷小）则，称为的微分，记为16即：2、与导数的关系：四、例题:例1.曲线在（0，2）点的切线方程是。解：∵y’=2ex∴切线斜率为k=2∴切线方程是例2.已知，求．解：例3.,dy解：dy=ex(sinx+cosx)dx例4.设是由方程所确定的函数，求。解：第三章导数的应用一、中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值

6、定理、柯西中值定理二、罗必达法则:1、基本未定型：,2、其他未定型：均可化为,型三、函数性态——函数图象性质:1、单调性判别法：162、极值：（1）定义：局部最大、最小值（2）判别法一：连续函数单调分界点：极值点例如：从单增到单减：极大值（3）判别法二：驻点：3、凹性、拐点（1）上凹：曲线总在切线上方下凹：曲线总在切线下方拐点：凹性分界点（2）判别法四、经济应用:16五、例题:例1解：例2函数y=x2-2lnx的单调增加区间为，单调减少区间为。解当时，单调减少,当时，单调增加例3．设曲线有一拐点（1，-1），且在x

7、=0处切线平行于直线y=x，求a，b，c及曲线方程。16例4．已知某商品的需求函数为x=125-5p，成本函数为C(x)=100+x+x2,若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2)最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。例5．证明：当。例6．某产品的产量为x（百台），总成本为C（x）万元，其中固定成本为5万元，边际成本为2万元/百台，假定产品能全部售出，且市场需求规律是x=1000—100p(其中p为价格)，求：（1）每年生产多少台时利润最大？（2）利润最大时的价格是多少？解:（1）16第

8、四章不定积分一、基本理论:1、不定积分概念（1）原函数注：积分是导数的逆运算（2）不定积分：的所有原函数2．基本积分公式（13个）二、积分方法:1、分项积分2、凑微分法常见凑微分形式：163．第二换元法了解两类应用：有理代换、三角代换4．分部积分法注：反对幂指三，谁先谁为,谁后谁凑为微分。三、例题:例1．若，则。解：为f（x）的原函数，则例2解：例3解：例4