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时间:2018-12-16
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1、等比数列前n项和的公式 北京市五十五中韩亦军 教学目标 1.掌握求等比数列前n项和的公式及其推导过程,培养学生创造性的思维. 2.初步掌握公式的应用,培养学生的解题能力. 教学重点与难点 等比数列前n项和公式的推导 教学过程设计 an=a1qn-1,这个公式的推导使用了迭乘法. (复习一下旧知识,为下面推导出前n项和公式作准备,并提供了类比) 师:今天我们研究已知等比数列的首项a1,公比q,项数n(或n项an),求它的前n项和Sn的计算公式. (给足够的时间鼓励学生对问题自由思考,积极解决) 生:能不能像推导等比数列通项公式的方法,列出一些等式,然后
2、迭乘或迭加? 师:可以试试. 生a1=a1, a2=a1q, a3=a2q, …… an-1=an-2q, an=an-1q. 将上面n个等式的等号两边分别相加,得 a1+a2+a3+…+an-1+an=a1+a1q+a2q+…+an-2q+an-1q 等号左边就是Sn,右边是…… (诱导一下) 师:可将右边适当变形,再观察它与Sn的关系,注意上式对n≥2时成立. 生:Sn=a1+q(a1+a2+…+an-2+an-1) 师:等号右边括号里是数列{an}若干项的和,可以用什么符号来表示?与Sn的关系又是什么? (及时点拔,可加深学生对符号Sn的理解
3、,最后一个问题也是推导公式的关键一步) 生:等号右边的括号里就是Sn-1,上面等式可以写成 Sn=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an). 以下只需解出Sn即可. (“方程”在中学代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决) 师:(纠错)能否在等号两端同除(1-q)? 生:应分q=1和q≠1讨论. (分类讨论也是重要的数学思想方法) 师:因为S1=a1,所以此式对n=1也成立.(帮助学生完善证明过程) 生:当q=1时,数列{an}为常数列a1,a1,…,Sn=na1 (
4、及时归纳小结) 师:我们根据等比数列的定义,用迭加的方法推导出了等比数列{an}的前n项和公式 (板书) 如果已知a1,n,q,则当q≠1时,Sn的公式是什么; (学生演算、口答,教师板书) 生:将an=a1qn-1代入,得 生:老师,我还有一种证法. 师:你是如何证明的?(学生口述,教师板书.) 当q=1时,Sn=na1. 师:非常好!这位同学围绕等比数列的基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. (公式虽已导出,还可以再引导学生把思维发散开) 师:还有没有其他的推导方法? (板书) Sn=a1+a2+…+an-1+an=a1+
5、a1q+…+a1qn-2+a1qn-1. 观察等号右端,若每一项乘以公比q,就得到它后面相邻的一项,能否设法消去一些项?同学们可以讨论一下. 生:(学生口述,教师板书) 在等号两边乘以q,得 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. 将两式的两端分别相减,就可消去这些共同项, (1-q)Sn=a1-a1qn. 得到前面的求和公式. 师:这种求和方法也很重要,由于设法消去了一些中间项,使带有省略号的含任意有限项的式子变成仅含有几项的式子,从而使问题得到解决. (用这种方法求和,对培养学生的观察、分析能力是有好处的) 这种求和方法称为“错位相减法”
6、,是研究数列求和的一个重要方法. (板书) (这种求和的思路在解决某些求和问题时经常用到,应使学生掌握) (以上三种推导方法,可以看出利用“发散思维”进行教学,引导学生从多条途径,用多种方法推导公式,从而培养学生的创造性思维) 师:在求等比数列(q≠1)的前n项和时,如果已知首项a1,公比q以及项数n, 师:与等差数列相似.等比数列的前n项和公式(1)和(2),及通项公式an=a1qn-1,其中涉及a1,q,n,an和Sn这五个量,而它们又通过通项公式及前n项和的公式联系着,因此只要已知其中的任何三个量,即可得到以其余两个量为未知数的方程组,从而可以求出其余两
7、个量. (类比的方法是认识事物的重要方法,提示学生在学习过程中,注意用类比的方法记忆知识、解决问题) 师:下面举例说明公式(1)、(2)的一些应用. (利用投影片投影出例题) 例1口答下列各题: (3)请利用第(2)题的数据,自己编题,改求a1或求q,并求解. (自己拟题能巩固和深化所学的知识) 生:(口答) (3)生甲:已知:q=3,S3=26.求a1. 生乙:已知:a1=2,S3=26.求q. 师:这一题是利用Sn求q,为什么可以用公式(2)? 生:因为
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