第四章 电极化率张量公式的推导.doc

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1、第四章电极化率张量公式的推导§4.1一阶电极化率张量公式的推导设E(t)在体积V介质内的空间变化可以不考虑，也不考虑磁场效应。V内含N个荷电粒子，则荷电粒子系统的偶极矩为(有正,负)(4.1-1)按定义，宏观电极化强度为单位体积内的偶极矩的期望值，(4.1-2)式中就是荷电粒子系统的密度算符。可见，要知道，必须得知道。由密度算符微扰级数(2.2-5)式代入(2.3-2)，则(4.1-3)(4.1-4)现在把(4.1-5)化成(4.1-6)的形式，从而求出电极化率张量元素的具体形式。由于对不同的阶数求的基本方法是相同的，只讨论r=1,2,然后推广

2、到任意r的情况。当r=1时，54(4.1-7)对(3.5-14)并令r=1时有(4.1-8)代入(4.1-7)式，则(4.1-9)由(3.5-13)式，(4.1-10)式中(4.1-11)是电偶极矩在电场中的附加能量；若再引入在相互作用表象中系统的电偶极矩算符(4.1-12)并考虑到经典物理量与算符两者是对易的，这样在相互作用表象中的微扰算符为(4.1-13)以及(4.1-14)所以(4.1-15)因为与可对易，以及矩阵线性组合的迹等于矩阵迹的线性组合，所以54(4.1-16)将按Fourier展开并代入(4.1-16)式与形式(4.1-17)

3、现将(2.3-17)式与形式(4.1-18)的关系相比较，便可得到一阶电极化率张量元素(4.1-19)展开式中的泊松括号运算中利用关系(4.1-20)并改变积分变量，即用t1替代t1-t，最后得到(4.1-21)§4.2二阶及r阶电极化率张量公式的推导推导的步骤与方法基本上与(2.3-21)的推导相同。在(4.1-6)式中令r=2,54(4.2-22)另由(4.2-4)和(3.5-28)式有(4.2-23)由(2.3-13)和(2.3-14)代入(2.3-23)式后得(4.2-24)在这里，将和拿到之前是利用了它们之间的可对易和如下的恒等对易规

4、则：.再将(4.2-24)式中的积分符号，和拿到迹符号外面，并利用和的Fourier变换代入后得54(4.2-25)将式中的泊松括号展开后，迹表示为(4.2-26)再在，和之间乘进之后，并应用(4.2-12)定义的和（4.2-20）,(4.2-12)(4.2-20)作变量代换和;则(4.2-25)成为(4.2-29)再将上式与(4.2-22)式相比较，便得二阶电极化强度张量元素的表示式(4.2-30)在第一章讲过电极化率张量具有本征对易对称性，即但从(4.2-30)式可以看到，在配对(a,w1)和(b,w2)交换后，也就是说，(4.2-30)所

5、表示的并不具有本征对易对称性。为使其具有本征对易对称性，可以用54代替。这样，(2.3-31)式在配对(a,w1)和(b,w2)的对易下是不变的，具有本征对易对称性。所以，具有本征对易对称性的二阶电极化率张量元素的表示式应变为(4.2-32)式中表示一种对称化算符，在这里它表示在(2.3-32)式中对配对(a,w1)和(b,w2)可能的对易求和。由一阶和二阶电极化率张量元素的表示式(2.3-21)和(2.3-32)，可以立即写出三阶电极化率张量元素的表示式(4.2-33)同理，对于r阶有(4.2-34)至此，已得到了用密度算符方法导出的各阶电极

6、化率张量元素的表示式，这些表示式可应用于任何介质，它们是研究介质光学性质的基础。§4.3近独立分子体系的电极化率张量利用上节的普遍结论讨论一个不可区分的，独立的(子系统无相互作用)取向相同的全同分子体系。这种模型对任何实际的介质来说是一个十分理想的模型，其概念简单，易于理解。上节所讲的电极化率张量的表示式中的算符都是与介质的小体积V内整个粒子系统相联系的。现证明这种多粒子算符可用单个分子的算符来表示。单个分子算符只与单个分子相联系，而且与不同分子相联系的算符之间是可对易的。1.多粒子系统算符用单分子算符表示假定在V内有M个分子，第m个分子的未微

7、扰Hamilton算符和电偶极矩算符分别为和那么整个集合的未微扰Hamilton算符和电偶极矩算符分别为(4.3-1)54(4.3-2)因为单个分子的Hamilton算符之间是对易的，所以整个集合在热平衡下的密度算符为(4.3-3)式中(4.3-4)是在热平衡下第m个分子的密度算符，这里A1/M用A’表示。同样，整个集合的未微扰与时间有关的么正算符为(4.3-5)式中(4.3-6)是第m个分子的未微扰与时间有关的么正算符－时间算符。显然(4.3-7)以及(4.3-8)在相互作用表象中，整个集合的电偶极矩算符为(4.3-9)式中(4.3-10)是

8、在相互作用表象中第m个分子的电偶极矩算符。542.电极化张量公式中的迹用单个分子的算符表示在一、二及r阶电极化率张量元素的表示式中分别含如下因子(4.