第四章 导数与微分.doc

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1、第四章导数与微分导数：反映函数相对于自变量的变化快慢的程度，即变化率问题微分：当自变量有微小变化时，函数值改变了多少。本章主要内容是：微分学的基本概念及各种求导数计算方法。第一节导数的概念一、实例：（变化率问题）1．变速直线运动的瞬时速度匀速运动时，速度对非匀速运动，设位移函数为在时间间隔内的平均速度为当时，有，故在时刻的瞬时速度为2．平面曲线过一点的切线的斜率设是曲线上一定点，是曲线上的动点，切线的定义：当沿曲线趋向于时，割线的极限位置割线的斜率当时有，（即得点处切线的斜率为以上两例从物理和几何上讨论了变化率问题，虽然具体意义不同，但数学形式相同，即函

2、数的增量与自变量增量之比的极限，它刻划了函数在一点的变化率。二、导数的概念：1．定义：设函数在点的某个领域内有定义，如果下面极限：存在，称极限为在点的导数，并称在可导，否则不可导。记为：或由导数的定义知：速度，斜率另外有：电流非均匀细杆的密度（质量为）总之：导数是概括了各种变化率得出的更一般，更抽象的概念，是函数相对于自变量的变化率，它反映了函数相对于自变量变化快慢的程度。例1设存在，求解：令，则，当时有原式=例2设，求：（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=2．左、右导数（因导数是用极限定义的，故有左、右极限）定义：左导数为右导数为：定理：在点可导的

3、充要条件是左、右导数存在且相等，即（注：此定理常用于分段函数在分界点处讨论导数是否存在）定义3若在区间内每点有导数，称为在上的导函数。显然即在的导数等于导函数在的函数值。3．导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率为故切线方程为法线方程为（其中）例3求曲线在点（2，8）的切线方程解：斜率，当时，∴切线方程为即三、可导与连续的关系：若在可导，则在连续。证：设由极限与无穷小的关系：，其中∴，即∴在连续反之不成立：即在连续，不一定在该点可导例如：在连续，但∴不存在又如：在连续∴不存在四、几个常用的导数公式（1）（2）（3），（4）（5）（6）（7）（8）证（2）：

4、对任意将换为得证（3）：证（5）：证（7）：例4求的导数解：例5讨论在的可导性解：∴当时时不存在。