导数与微分例题分析.doc

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1、导数与微分例题分析例1求曲线y=Q在x=l处的切线的方程。解：之又x=1时，y=e切线方程为:y-e=e(x-1)即：y二ex例2设需求函数为q二1000^-°l25p，其中q为需求量，p为价格,试求：(1)(2)需求量q对价格p的弹性；当价格p=10时，求需求弹性值，并说明其经济意义。解：(1)需求量q对价格p的弹性为q=1000严旳^,=1000e°,25p(-0.125)・・・需求量q对价格p的弹性为:q'耳=P•—q=—0.125p1000«425气_0125)P1000e_°J25/,(3)当

2、p=10时，需求量q对价格p的弹性，人=T公(负号表示需求量q是价格的单调减函数)。其经济意义为：在价格p=l()的基础上，若价格提高(减少)1%,需求量将减少(增加)1.25%。例3:下列结论中()是正确的。A.f(x)在x=x°处连续，则f(x)在xo处可导。B.f(x)在x=x°处极限存在，则f(x)在xo处有定义C.f(x)在X。处有定义，则f(x)在X。处有极限D.f(x)在Xo处不连续，则f(x)在X。处不可导答案：(D)例4试在曲线(上求一点，使过该点的切线方程平行于直线y=2x—l。解：

3、已知直线的斜率为k=2。又由线在任一点的切线斜率为£=y'=（兀2）'=2x要使切线平行于已知直线，就要求斜率相等，即2x=2,・*.x=l,y=l-/~x(y/~x+1)~2yfx(y!~x+1)~=l2故曲线），=兀在（1,1）点的切线平行于已知直线y=2x-lo例5求下列函数的导数或微分：%2（1）y=——,求dyox+1解：(小(77+1)-/(石+i),2皿订(y[~X+1)2(y/~X+1)24xy[x(Vx+1)-x2_3x2+4xVx3x2一4xyfx2V7(Vx+1)2dx1（2）

4、y=幺兀+x4x,求八解：丄丄色y'={exy+{xy[x)'=(£*)'+(兀亍)'JV22_/2+2x_[(3)y—e，求八=oo解：y，=(—兀2+2x_]),=(2_2x)£-/+2.Z2/.y=o=2(l-O)e°-I=2e-1=~e⑷y=edxsinbx,求才。解:y'=eax.(ax)'sinbx+e(lx.cosbx.(bxy=eax.asinbx+eas.cosbx.b=eax{asinbx+bcosbx)sinl⑸y=3"，求八1sin—y'=3A.In3.(sin解：-)*=3s

5、m?lnA-.cos丄.(丄yXXX=3S，H7.ln3.cos=-^4-(cos-).3"，?XXXX⑹y=Incos(d)求y'(0)■■(7)y+X?=1,求y-(0)o解：这是隐函数，方程两端同时对X求导。y^(xeyy=l)」(1+xey)=-ey,ey•・y=_—r1+X0又x=0时，代入原方程y=l•儿"金…(8)-xy=1,求)「。解：这是隐函数，方程两端同时对x求导。2x+2y.yf一(1・y+巧‘)+3=02兀+2y・;/_y_兀)/+3=0yf(2y-x)=y-2x-3,y—2x3

6、•••y="2y—无wcly二ydx-2>-3dx(11)i=0求y”解：求函数的二阶导数时，先求一阶导数，再求二阶导数。y,=x,ex+x(ex),=ex+xex=(l+x)exy"=(1+x)exj=l-ex+(1+x)ex=(2+x0(12)y=XCOSX求y"解：y'-cosx+兀・(cosx)r=cosx-x・sinxyn=[cosx-x-sinx]=-sinx-(l.sinx+x-cosx)=-2sinx-x-cosx例6：下列等式中()是正确的。A.—/dx=d(y/2x)V2xB.Inx

7、dx=d(—)X兀兀D•sinxdx=cl(cosx)答茶:D