导数与微分理论与经典例题

《导数与微分理论与经典例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、导数与微分一、概念部分：1、导数的概念：(1)明确导数定义的结构形式及等价形式:lim屯=lim心)+心)75)=limM-fW心T()心山T()A%XTXoX—XQ(2)导数的几何意义：函数在某点(x0,/(x0))处的导数就是经过该点的切线的斜率，因此:切线：y-f(xQ)=fxQ)(x-x0)法线：y-/(Xo)=-7uy(x-Xo)2、微分的概念：(1)微分的定义：dy=fx)dx(2)微分的几何意义：在曲线上某一点处，当自变量取得改变量心时，曲线在该点处的切线纵坐标的改变量。函数值的改变量的近似值：Aj-dy-/z(x0)Ar。函

2、数值的近似值：f(x{}+Ar)=/(%())+△)=/(%())+/"(兀())心o(3)微分形式的不变性：无论况作为自变量还是作为中间变量，总有：dy-fXu)duo(3)可导(可微)、连续及极限的关系：可导(可微)=＞连续=＞极限存在二、运算部分:1x基本初等函数的导数:(1)(cY=o；(3)(axy=axxci；(5)(logr/xY=—xinci(7)(sina:)z=cosx；(2)(xay=axa~［；(4)(exy=ex；(6)(Inx)f=—；X(8)(cosjt)'=—sinx；(9)(tanx)z=sec2x=cos2

3、X(10)(cotx)"=-cos2x=—sin2x2、3、(10)(arcsinx)z=/yl—x(13)(arctanxY=—l+F导数的四则运算法则：(1)(比土V)'=/±f；(2)(3)'=况勺+他‘；复合函数的求导法则:(11)(arccosxY=——.Jl—兀2(14)(arccotx)f=71+⑶(-)zVuv-uv2dydyduZZdxdudx4、反函数的导数:厂⑴亠或冬00)dx1dx5、遇到含有y的项，先对y求导，再隐函数的字数：将方程F(x,y)=0的两边同时对兀求导数，乘以y对兀的导数，这样得到一个含有『的方程式，最后从

4、中解出『即可。6、参数方程的导数：O工xlfz/z(且—/A—/---设7、对数求导法：用处：导数求导法主要用于幕指函数y=uv(其中都是函数)以及一种因子之幕的连乘的函数。方法：首先，两边同时取对数，将其转化成隐函数；然后，按照隐函数的求导方法求出导数。8、高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，对于"阶导数，需要从中找出规律，以便得到,2阶的表达式通式。注1:初等函数在其定义域内总是连续的，但初等函数在其定头域内不一定处处可导。注2：判定分段函数在分段点处的可导性时，通常用左导数与右导数来判定。三、典型题例：1、设函数/(x)在x

5、=x0处可导，且/7%0)=2,则lim——一等于？/?toh2、设函数/(兀)在x=xQ处可导，且lim"冷—a)49则"°)等于?3、设f(l)=1,则lim/巴一‘⑴等于？YT1X*—14、讨论fM=+x),-106、求下列函数的导数:(1)y=COSX1+xy=arctanl-x(3)y=J1+兀2+lncosx+，(4)ex-ey=sin(xy)X=cosf⑸2y=sin/-fco

6、s/(6)y=3(—1)2x(x+l)(7)已知y{n~2}=xlnx,求y®(8)>+5x+6求尹）四、题例解答:设函数/(兀)在％=兀0处可导，且fxQ)=2,贝']lim"「5一——/?tohlim/〔%0+(一力]一/(兀0)I)(-/?)(-i)=r(x0)(-i)=-22、设函数/(兀)在兀="。处可気且烛/冒2"心-2/U)二右二八无))=_2。]jn*i*&]im-2/i再f(xo-2h)-/(兀0)打/[^0+(-2/?)]-/(x0)(_2)3、设广(1)=14、讨论则向些型=lim/(x)-/(Dx丄=r(1)xl=1Z

7、兀2_1.3x-兀+122f(x)=ln(l+x),-1

8、(1+兀)21—兀2(1+对)(1—X)亠1+x~i—X匚7,9/2x-sinxxy=pi+x+Incosx+w=>y=—/T=f-ta