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1、第四章均值和自协方差函数的估计—摘要§4.1均值的估计1.对于独立序列:自然地用估(1)几个概念设是的估计,则①无偏估计:若;②渐近无偏估计:若;③相合估计:若;(通常)④强相合估计:若.(2)中心极限定理若独立同分布的,则.95%置信区间估计:实用中,以代.2.对于平稳序列有定理1.1设平稳序列的均值为,,则(1)是的无偏估计;(2)若,则是的相合估计.(3)若是严平稳遍历序列,则是的强相合估计.定理1.2的结果:,用于:区间估计和假设检验3.的模拟计算(标正白噪声)§4.2自协方差函数的估计1.等的点估计设是平稳的样本,则(1)的点估计:(,)(2)的点估计:()(
2、3)的点估计:若不全相同,则不全为零,故有满秩的矩阵从而有:2.的相合性—略3.的渐近分布—简介例如对MA(q),若是独立同分布的白噪声,则当时,有.或故可用于假设检验:是MA(q),令,()用第3章例1的数据的值1-0.41270.02-0.068-0.0087-0.0766-0.00830.135计算的,得5.77780.28140.95200.12181.07240.1162因为,故否定是MA(0)计算的,得0.24300.82220.10520.92620.10041.6323均<1.96,故不能拒是是MA(1).后面较实用的结论为:推论2.6若是独立同分布的白
3、噪声,样本自相关系数为则对任何,有(1)4.模拟计算设其中,用和,得通常,随增大,.其余略.§4.3白噪声检验建模后,白噪声检验通过,模型合理,否则要调.1.白噪声的检验统计中,独立.前述:,故有:,()作是独立白噪声是相关序列.在下:.所以当检验统计量有较大值时,应拒绝.通常方法:(1)给后,查的;(2)计算;(3)若,则拒,否则不能拒绝.对如下模型进行分析则有,.取,每次观测个数据,;当时,为500次独立重复试验中否定的次数,则有01/101/61/41/31/22/30.058,0.204,0.502,0.916,1.00,1.00,1.00当0,则白噪声,500
4、次中拒绝率最小,随,拒绝率变大;clear;th=1.13;P=[];%%%拒绝率fora=[01/101/61/41/31/21/1.5];%%%%%%产生400个数据N=400;m=20;pp=0;%%%初始化forj=1:500x=randn(1,2);fort=3:Nx(t)=2*a*cos(th)*x(t-1)-a^2*x(t-2)+randn;end%%%%%%前6个样本自协方差函数值x_N=mean(x(1:N));fork=1:m+1r(k)=(x(1:N-k+1)-x_N)*(x(k:N)-x_N)'/N;end%%%%%前1~5个自相关系数rho=r
5、(2:m+1)/r(1);chi2=N*rho*rho';%%%%%%自由度是5的,置信度95%的分位数alpha_1=chi2inv(0.95,m);%%%%%检验ifchi2>alpha_1pp=pp+1;endendP=[P,pp/500];endformatrat;[01/101/61/41/31/21/1.5]format;P注:也可用值检验法,即:(1)计算;(2)计算概率;(3)对给出的检验水平,若,则拒绝.2.白噪声的正态分布检验法(1)计算在原假设下,应有95%的(2)若,则应拒绝.clear;%%%%%%产生400个数据N=400;m=20;x=ra
6、ndn(1,400);%%%%%%前21个样本自协方差函数值x_N=mean(x);fork=1:m+1r(k)=(x(1:N-k+1)-x_N)*(x(k:N)-x_N)'/N;end%%%%%前1~20个自相关系数rho=r(2:m+1)/r(1);sum(rho>1.96/sqrt(N))plot([1:20],rho).
