均值、方差、自相关函数的估计

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1、2.3均值、方差、自相关函数的估计用随机系列x(n)的N个取样点{x(0),x(1),…,x(N-1)}来估计x(n)的均值、方差和自相关函数例：求随机过程数学期望，方差及自相关函数。其中，w0为常数，是在区间上均匀分布的随机变量。解:(1)数学期望(2)方差(3)自相关函数2.3.1均值的估计将N个样点数据的算术平均值作为均值的估计，即利用前面介绍的评价指标，可以对该点估计进行质量评价（2.3.1）估计的均值：（2.3.2）此为无偏估计估计的方差：（2.3.3）将式（2.3.2）代入上式，得对有（2.3.4）为便于分析，

2、假定x(n)与x(m)是互不相关的，则上式代入式（2.3.3），有当综上，可以得出如下结论：当各样值互不相关时，对均值的估计是无偏的一致估计事实上各样值之间是存在相关性的2.3.2方差的估针计算方差估计值的一种方法是：此估计均值为：因为估计的均值等于真值，故为无偏估计（2.3.6）估计的方差为：将式（2..6）代入上式，得可以证明，当所以式（2.3.5）对方差的估计是无偏的一致估计事实上，因为式（2.3.5）的均值也只能来自估计，所以方差的估计往往不是式（2.3.5）而是可以证明，此为渐近无偏的一致估计作业要求：用不超过一页

3、作业纸说明2.3.3自相关函数的估计2.4相关函数与功率谱2.4.1相关函数因为平稳随机信号的相关函数是确定性的，所以对平稳随机信号的分析和处理常常在相关域进行。当用线性移不变离散时间系统对随机信号进行处理时，虽然信号是随机的，但用来描述线性系统的单位脉冲响应总是确定性的。所以，接下来首先介绍确定性信号的相关函数1.确定性能量信号的相关函数什么是确定性信号？——自变量的确定函数数字关系式或图表惟一地确定能量信号是指能量有限的信号。对连续和离散时间信号分别满足：如果信号能量无限大，比如确定性的用期信号、阶跃信号以及随机信号，就

4、不能从能量而应从功率的角度去研究它们，这类信号叫功率信号。确定性能量信号的自相关函数和互相关函数分别定义为：*是共轭，若x(n)、y(n)为实序列*可省略确定性能量信号的相关函数的性质：1）若x(n)为实信号，则Rx(m)为实偶函数，即若x(n)为复信号，则Rx(m)为共轭偶对称确定性能量信号的相关函数的性质2）在m=0时，Rx(m)取得最大值，即且就是信号的能量，即3）对于能量信号，当间隔时，序列项之间就失去了相关性，即4）互相关函数不是偶函数，由式（2.4.2），有确定性能量信号的相关函数的性质5）相关卷积定理对实信号有

5、：（2.4.5）（2.4.6）证明：6）相关定理确定性能量信号的相关函数的性质能量信号的相关函数与能量谱是傅立叶变换对。根据1.1.5节介绍的正反傅立叶变换的定义式、可以将该定理表示为：（2.4.7）将m=0代入上式，得信号序列能量能量谱密度能量互谱密度（2.4.8）确定性功率信号的自相关函数和互相关函数分别定义为：2.确定性能量信号的相关函数周期信号的相关函数依然是周期信号，且与原信号的周期相同3.平稳随机信号的相关函数平稳随机信号的自相关函数和互相关函数分别定义为：（2.4.10）（2.4.11）平稳随机信号的相关函数的

6、性质：1）若x(n)为实信号，则Rx(m)为实偶函数，即若x(n)为复信号，则Rx(m)为共轭偶对称2）在m=0时，Rx(m)取得最大值，即且就是序列的平均功率，即将上式代入（2.1.3），可得由式（2.1.1），有3）一个非周期平稳随机序列时，序列项之间可认为不相关，即也就是说，序列项之间可认为不相关时，协方差等于零4）互相关函数有5）6）7）维纳——辛钦定理平稳随机过程的功率谱密度和相关函数的关系维纳—辛钦定理:平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为傅里叶变换，即：（2.4.16）（2.4.17）令m=0，可得功率谱2

7、.4.2随机信号的功率谱平稳随机信号的功率谱具有如下性质：1）不论x(n)是实序列还是复序列，都是的实函数2）如果x(n)是实序列，具有偶对称性3）对所有的都是非负的，且是的周期函数并且周期为2.5白噪声过程和谐波过程白色噪音（白噪声）(1).白噪声过程：是一种最简单的随机过程，是一种均值为零，谱密度为非零常数的平稳随机过程。它的自相关函数为当时,只要则X(t1)和X(t1)相互独立.谱密度为这表明白噪声过程的功率在-到的全频段内均匀分布，类似于光学中的白色光，因而称为白噪声。等于它的方差理想白噪声的总功率是无限的。实际

8、上只要随机信号在所考虑的频率范围内是常值，就可近似认为是白噪声。不完全满足这三个条件者，则称为有色噪声.2).白噪声序列{w(k)}白噪声序列是白噪声过程的一种离散形式,它的自相关函数为谱密度为常数:(3)白噪声序列的产生：a）（0，1）均匀分布随机数的产生（Rand函数）b）物理方法（噪