时间序列分析-第四章 均值和自协方差函数的估计.ppt

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1、第四章均值和自协方差函数的估计本章结构均值的估计自协方差函数的估计白噪声检验§4.1均值的估计相合性中心极限定理收敛速度的模拟计算均值、自协方差函数的作用AR,MA,ARMA模型的参数可以由自协方差函数唯一确定。有了样本之后，可以先估计均值和自协方差函数。然后由均值和自协方差函数解出模型参数。均值和自协方差可以用矩估计法求。还要考虑相合性，渐进分布，收敛速度等问题。均值估计公式设是平稳列的观测。的点估计为把观测样本看成随机样本时记作大写的相合性设统计量是的估计，在统计学中有如下的定义1如果，则称是的无偏估计。2如果当则称是的渐进无偏估计。3如果依概率收敛到，则称是

2、的相合估计。4如果收敛到，则称是的强相合估计。一般情况下，无偏估计比有偏估计来得好，对于由(1.1)定义的。有所以是均值的无偏估计。均值估计的相合性好的估计量起码应是相合的。否则，估计量不收敛到要估计的参数，它无助于实际问题的解决。对于平稳序列，如果它的自协方差函数收敛到零，则：利用切比雪夫不等式得到依概率收敛到。于是是的相合估计。均值估计的性质定理1.1设平稳序列有均值和自协方差函数。则1是的无偏估计。2如果则是的相合估计。3如果还是严平稳遍历序列，则是的强相合估计。第三条结论利用1.5的遍历定理5.1可得。一般地，任何强相合估计一定是相合估计。线性平稳列的均值

3、估计是相合估计。ARMA模型的均值估计是相合估计。独立同分布样本的中心极限定理若。则可以据此计算的置信区间。(1.3)其中的1.96也经常用2近似代替。平稳列的均值估计的中心极限定理定理1.2设是独立同分布的，线性平稳序列由(1.5)定义。其中平方可和。如果的谱密度(1.6)在连续，并且则当时，推论当绝对可和时，连续。推论1.3如果和成立，则当时并且(1.7)收敛速度相合的估计量渐进性质除了是否服从中心极限定理外，还包括这个估计量的收敛速度。收敛速度的描述方法之一是所谓的重对数律。重对数律成立时，得到的收敛速度的阶数一般是除了个别情况，这个阶数一般不能再被改进。收

4、敛速度(2)定理1.4设是独立同分布的。线性平稳序列由(1.5)定义。谱密度。当以下的条件之一成立时：1当以负指数阶收敛于0.2谱密度在连续。并且对某个成立。则有重对数律(1.8)(1.9)易见重对数律满足时不收敛。AR(2)的均值计算令考虑AR(2)模型为模拟方便设。AR(2)的均值计算(2)估计收敛性的模拟为了观察时的收敛可以模拟L个值然后观察的变化。为了研究固定N情况下的精度以至于抽样分布。可以进行M次独立的随机模拟，得到M个的观察值。这种方法对于难以得到估计量的理论分布的情况是很有用的。§4.2自协方差函数的估计自协方差估计公式及正定性的相合性的渐进分布模

5、拟计算自协方差函数估计公式(2.2)样本自相关系数(ACF)估计为(2.3)自协方差函数估计公式估计一般不使用除了的估计形式：(2.4)因为：我们不对大的k值计算更重要的是只有除以N的估计式才是正定的。样本自协方差的正定性只要观测不全相同则正定。令记(2.5)只要不全是零则A满秩。样本自协方差的正定性事实上，设则A矩阵左面会出现一个以值开始非零的斜面。显然是满秩的。故不全相同时正定。作为的主子式也是正定的。的相合性定理2.1设平稳序列的样本自协方差函数由式(2.2)或(2.4)定义。1如果当时，则对每个确定的k，是的渐进无偏估计：2如果是严平稳遍历序列。则对每个确

6、定的k,和分别是和的强相合估计：定理2.1的证明下面只对由(2.2)定义的样本自协方差函数证明定理2.1。对由(2.4)定义的的证明是一样的。设则是零均值的平稳序列。利用(2.7)定理2.1的证明定理2.1的证明只考虑线性序列。设是4阶矩有限的独立同分布的实数列平方可和。线性平稳序列(2.8)有自协方差函数(2.9)有谱密度(2.10)设自协方差函数列平方可和。设为独立同分布的。令定义正态时间序列(2.11)(2.12)样本自协方差和自相关的中心极限定理定理2.2设是独立同分布的。满足。如果线性平稳序列(2.8)的谱密度(2.10)平方可积：则对任何正整数h，当时

7、，有以下结果1依分布收敛到2依分布收敛到自相关检验的例子例2.1(接第三章例1.1)对MA(q)序列。利用定理2.2得到，只要当依分布收敛到的分布。注意时，中的应属于，所以令有为期望为0，方差为的正态分布。在假设是MA(q)下，对m>q有自相关检验的例子现在用表示第三章例1.1中差分后的化学浓度数据。在是MA(q)下。用代替真值后分别对计算出在q=0的假设下，所以应当否定q=0.自相关检验的例子实际工作中人们还计算概率并且把p称为检验的p值。明显p值越小，数据提供的否定原假设的依据越充分。现在在下，近似服从标准正态分布。所以p值几乎是零，因而必须拒绝是MA(0)的

8、假设。取q