.平面基本性质

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn10.3平面的基本性质空间两直线的位置关系【知识网络】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。【典型例题】例1：（1）在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于

2、点P，那么（）A.B.C.D.答案:A。解析:面ABC，又面ACD，由公理2知，面ABC∩面ACD。（2）在正方体AC1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱A1B1上的任意一点，则OP与AM所成角为（）A、B、C、D、答案：D。解析：取AD中点Q，在正方形ADD1A1中，A1Q⊥AM，从而易证AM⊥面A1B1OQ，又OP面A1B1OQ，∴AM⊥OP。（3）异面直线成80°角，P为之外的一个定点，若过P有且仅有两条直线与所成的角相等（都等于θ），则（）A、B、C、D、答案:B.解析：当时这样的直线不存在，当θ=40°时仅有一条，当θ=50°时有三条，当时有四和。（4）正

3、方体的12条面对角线所在的直线中，互相异面的直线共有对。答案：30。解析：面对角线中，与AC相交的有5条，平行的有1条，（自身为1条）故与AC异面的直线有12-5-1-1=5（条），则共有12×5×=30（对）。（5）空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB、CD的中点，EF=，则AD、BC所成的角为。答案：。解析：异面直线所成角的范围。例2：已知直线a∥b，c∩a=A，c∩b=B.求证：a、b、c在同一平面内.证明：∵a∥b∴经过a、b可确定一个平面∵c∩a=A，∴A∈a，而a∴A∈，同理B∈则AB，即c∴a、b、c在同一平面内.。例3：分别和两条异面直线AB、CD同时

4、相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?答案：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。例4：如图所示，已知，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥AD，且PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求异面直线PA与MN所成角的大小。答案：解：如图，连结PD，∵PA⊥AD，且PA=AD，∴Rt△PAD为等腰直角三角形。取PD的中点E，连结NE、AE，NE又AM∴NEAM，即四边形ENMA为平行四边形。∴AE//MN。于是∠PAE是异面直线PA与MN所成的角。∵△PAD为等腰直角三角形

5、，AE为斜边PD上的中线，∴∠PAE=45°，即PA与MN所成角的大小为45°。【课内练习】1．下列推理中，错误的个数为（）①；②；③；④且A、B、C不共线与β重合。A、0个B、1个C、2个D、3个答案：B。解析：①②④正确。2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能答案：D。3．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A、30°B、45°C、60°D、90°答案：D。解析：A1E//B1G，易求∠B1GF=90°。4．判断下列

6、命题的真假:(1)如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点；(2)过一条直线的平面有无数多个；(3)两个平面的交线可能是一条线段；(4)两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点；(5)经过空间任意三点有且仅有一个平面；(6)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合为一个平面。其中真命题序号是（把你认为正确的命题序号都填上）。答案：(2)和(6)。解析：(2)和(6)为真命题,其余皆为假命题。5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有对。答案：24对。解析：每条侧棱对应于底面的4条棱成异面直线，故有64=24对。6．在正方体AC

7、1中，表面的对角线与AD1成60°角的有____条。答案：8。7．若角与的两边分别平行，则时，。答案：。解析：由等角定理及其推论知。8．空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=，且AD⊥BC，对角线BD=，，求异面直线AC与BD所成的角。答案：解：如图分别取AB、BD、CD、DA的中点E、F、G、H，连结EF、FG、GH、HE，∴EF，FG，GHHE，∴∠EFG为异面直线AD与BC所成的角，∠EFG=90°，∠GHE为AC与BD所成角，∵EG