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时间:2018-12-16
《2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 限时集训13 圆锥曲线中的综合问题 文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题[建议用时:45分钟]1.(2016·哈尔滨一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右顶点A(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)过点M的直线l交椭圆于B,D两点,设直线AB的斜率为k1,直线AD的斜率为k2,求证:k1k2为定值,并求此定值.[解](1)由题意得解得所以C的方程为+y2=1.4分(2)证明:由题意知直线l的斜率不为0,可设直线l的方程为x=my+,与+y2=1联立得(m2+4)y2+3my-=0,6分由Δ>0,设B(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=,y
2、1y2=,8分k1k2=====-,∴k1k2为定值,定值为-.12分2.(2017·海口模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点,离心率为,点O为坐标原点.图132(1)求椭圆E的标准方程;(2)过椭圆E的左焦点F任作一条不垂直于坐标轴的直线l,交椭圆E于P,Q两点,记弦PQ的中点为M,过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N,证明:点N在一条定直线上.[解](1)由题易得解得所以c=2,所以椭圆E的方程为+y2=1.5分(2)证明:设直线l的方程为y=k(x+2)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=k(x+2)与
3、+y2=1,可得(1+5k2)x2+20k2x+20k2-5=0,6分所以x1+x2=-,x1x2=.8分设直线FN的方程为y=-(x+2),M(x0,y0),9分则x0==-,y0=k(x0+2)=,10分所以kOM==-,所以直线OM的方程为y=-x,联立解得所以点N在定直线x=-上.12分3.(2017·石家庄二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA,TB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P,Q两点,求·+·的取
4、值范围.[解](1)设T(x,y),则直线TA的斜率为k1=,直线TB的斜率为k2=.2分于是由k1k2=-,得·=-,整理得+=1.4分(2)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线PQ与椭圆方程联立得(4k2+3)x2+16kx-32=0,所以x1+x2=-,x1x2=-.6分从而,·+·=x1x2+y1y2+[x1x2+(y1-2)(y2-2)]=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4==-20+.8分-20<·+·≤-.10分当直线PQ斜率不存在时,
5、易得P,Q两点的坐标为(0,2),(0,-2),所以·+·的值为-20.综上所述,·+·的取值范围为.12分4.(2017·广东六校联盟联考)已知点P是圆O:x2+y2=1上任意一点,过点P作PQ⊥y轴于点Q,延长QP到点M,使=.(1)求点M的轨迹E的方程;(2)过点C(m,0)作圆O的切线l,交(1)中的曲线E于A,B两点,求△AOB面积的最大值.[解](1)设点M(x,y),∵=,∴P为QM的中点,1分又有PQ⊥y轴,∴P,2分∵点P是圆:x2+y2=1上的点,∴2+y2=1,即点M的轨迹E的方程为+y2=1.4分(2)由题意可知
6、直线l与y轴不垂直,故可设l:x=ty+m,t∈R,A(x1,y1),B(x2,y2),∵l与圆O:x2+y2=1相切,∴=1,即m2=t2+1,①6分由消去x,并整理得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0,其中Δ=4m2t2-4(t2+4)(m2-4)=48>0,则y1+y2=,y1y2=.②8分∴
7、AB
8、==,将①②代入上式得
9、AB
10、==,
11、m
12、≥1,10分∴S△AOB=
13、AB
14、·1=·=≤=1,当且仅当
15、m
16、=,即m=±时,等号成立,∴(S△AOB)max=1.12分5.(2016·开封二模)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离
17、心率为的椭圆过点.图133(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.[解](1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0),则=(其中c2=a2-b2,c>0),且+=1,故a=2,b=1.所以椭圆的方程为+y2=1.6分(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l:y=kx+m(m≠0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,5分则Δ=64k2m2-16(1+4k2)
18、(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,且x1+x2=-,x1x2=.6分故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,7分因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数
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