2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题5解析几何专题限时集训13圆锥曲线中的综合问题理

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1、专题限时集训(十三)　圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第103页)(限时：40分钟)题型1　圆锥曲线中的定值问题3题型2　圆锥曲线中的最值，范围问题1,4题型3　圆锥曲线中的探索性问题21．(2017·河南洛阳二模)已知动圆M过定点E(2,0)，且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设A，B是轨迹C上的两点，且·＝－4，F(1,0)，记S＝S△OFA＋S△OAB，求S的最小值.【导学号：07804096】[解]　(1)设M(x，y)，PQ的中点为N，连接MN(图略)，则

2、PN

3、＝2，MN⊥PQ，∴

4、MN

5、2＋

6、PN

7、2＝

8、

9、PM

10、2.又

11、PM

12、＝

13、EM

14、，∴

15、MN

16、2＋

17、PN

18、2＝

19、EM

20、2，∴x2＋4＝(x－2)2＋y2，整理得y2＝4x.∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)设A，B，不妨令y1＞0，则S△OFA＝·

21、OF

22、·y1＝y1，∵·＝－4，∴x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－4，解得y1y2＝－8，　①当y1＝－y2时，AB⊥x轴，A(2,2)，B(2，－2)，S△AOB＝4，S△OFA＝，S＝5.当y1≠－y2时，直线AB的方程为＝，即y－y1＝，令y＝0，得x＝2，∴直线AB恒过定点(2,0)，设定点为E，∴S△OAB＝

23、OE

24、·

25、y1－y2

26、＝y1－

27、y2，由①可得S△OAB＝y1＋，∴S＝S△OFA＋S△OAB＝y1＋＝y1＋≥2＝4.综上，Smin＝4.2．(2017·陕西教学质量检测)已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆E上，且

28、PF1

29、＋

30、PF2

31、＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【导学号：07804097】[解]　(1)∵

32、PF1

33、＋

34、PF2

35、＝4，∴2a＝4，a＝2.∴椭圆E：＋＝1.将P代入可得b2＝3，∴椭圆E的

36、方程为＋＝1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋＝＋＝；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.

37、AC

38、＝

39、x1－x2

40、＝＝.∵直线BD的斜率为－，∴

41、BD

42、＝＝.∴＋＝＋＝.综上，2λ＝＋＝，∴λ＝.故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．3．(2017·长沙模拟)如图134，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Г过定点B(1,0)，直线l是圆Г在点B处的切线，过A(－1,0)作圆Г

43、的两条切线分别与l交于E，F两点．图134(1)求证：

44、EA

45、＋

46、EB

47、为定值；(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明：

48、EB

49、·

50、FQ

51、＝

52、FB

53、·

54、EQ

55、.[解]　(1)设AE切圆Г于点M，直线x＝4与x轴的交点为N，故

56、EM

57、＝

58、EB

59、.从而

60、EA

61、＋

62、EB

63、＝

64、AM

65、＝＝＝＝＝4.所以

66、EA

67、＋

68、EB

69、为定值4.(2)由(1)同理可知

70、FA

71、＋

72、FB

73、＝4，故E，F均在椭圆＋＝1上．设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)．令x＝4，求得y＝，即Q点纵坐标yQ＝.由得，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则有y1

74、＋y2＝－，y1y2＝－.因为E，B，F，Q在同一条直线上，所以

75、EB

76、·

77、FQ

78、＝

79、FB

80、·

81、EQ

82、等价于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)，即－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，等价于2y1y2＝(y1＋y2)·.将y1＋y2＝－，y1y2＝－代入，知上式成立．所以

83、EB

84、·

85、FQ

86、＝

87、FB

88、·

89、EQ

90、.4．(2017·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求·

91、的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.【导学号：07804098】[解]　(1)由题意知＝，＝b，即b＝.又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝1.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.则Δ＝322k4－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0，解得0≤k2＜.易知x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－4)(x2－4)＝(1＋k2)x1

92、x2－4k2(x1＋x2)＋16k2＝(1＋k2)·