高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题5解析几何第13讲圆锥曲线中的综合问题教学案理

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1、第13讲　圆锥曲线中的综合问题题型1　圆锥曲线中的定值问题(对应学生用书第43页)■核心知识储备………………………………………………………………………·解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l

2、不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．[解]　(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.11所以直线OM的斜率与直线l的斜

3、率的乘积为定值．[类题通法]定值问题的常见方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．■对点即时训练………………………………………………………………………·已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－，0)，e＝.图131(1)求椭圆C的方程；(2)如图131，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1

4、，k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问

5、OP

6、2＋

7、OQ

8、2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．[解]　(1)由题意得，c＝，e＝，解得a＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由已知，直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆R相切，∴＝2，化简得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4＝0，同理，可得(x－4)k－2x0y0k2＋y－4＝0，∴k1，k2是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－4＝0的两个不相等的实数根，∴x－4≠0，Δ＞0，k1k2＝.∵点R(x

9、0，y0)在椭圆C上，∴＋＝1，即y＝6－x，11∴k1k2＝＝－.(3)

10、OP

11、2＋

12、OQ

13、2是定值18.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得，解得，∴x＋y＝，同理，可得x＋y＝.由k1k2＝－，得

14、OP

15、2＋

16、OQ

17、2＝x＋y＋x＋y＝＋＝＋＝＝18.综上：

18、OP

19、2＋

20、OQ

21、2＝18.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T3)题型2　圆锥曲线中的最值、范围问题(对应学生用书第44页)■核心知识储备……………………………………………

22、…………………………·1．解决圆、圆锥曲线范围问题的方法(1)圆、圆锥曲线自身范围的应用，运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围．(2)参数转化：利用引入参数法转化为三角函数来解决．(3)构造函数法：运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识．2．求最值的方法(1)代数法：设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值．注意灵活运用配方法、导数法、基本不等式法等．(2)几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决．■典题试解寻法………………………………………………

23、………………………·【典题】　如图132，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．11图132(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).【导学号：07804094】[解]　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0.　①设M为AB的中点，则M，代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－.　②由①②得m＜－或m＞.(2)令t＝

24、∈∪，则

25、AB

26、＝·，且O到直线AB的距离d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝

27、AB

28、·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.11[类题通法]在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解.易错警示：在设直线方程时，若要设成y＝kx＋m的形式，注意先讨论斜率是否存在；若要设成x＝ty＋n的形式，注意先讨论斜率是否为0.■对点即时训练……………………………………………………