资源描述:
《2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题5 解析几何 专题限时集训13 圆锥曲线中的综合问题 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第103页)(限时:40分钟)题型1 圆锥曲线中的定值问题3题型2 圆锥曲线中的最值,范围问题1,4题型3 圆锥曲线中的探索性问题21.(2017·河南洛阳二模)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)设A,B是轨迹C上的两点,且·=-4,F(1,0),记S=S△OFA+S△OAB,求S的最小值.【导学号:07804096】[解] (1)设M(x,y),PQ的中点为N,连接MN(图略),则
2、PN
3、=2,MN
4、⊥PQ,∴
5、MN
6、2+
7、PN
8、2=
9、PM
10、2.又
11、PM
12、=
13、EM
14、,∴
15、MN
16、2+
17、PN
18、2=
19、EM
20、2,∴x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设A,B,不妨令y1>0,则S△OFA=·
21、OF
22、·y1=y1,∵·=-4,∴x1x2+y1y2=+y1y2=-4,解得y1y2=-8, ①当y1=-y2时,AB⊥x轴,A(2,2),B(2,-2),S△AOB=4,S△OFA=,S=5.当y1≠-y2时,直线AB的方程为=,即y-y1=,令y=0,得x=2,∴直线AB恒过定
23、点(2,0),设定点为E,∴S△OAB=
24、OE
25、·
26、y1-y2
27、=y1-y2,由①可得S△OAB=y1+,∴S=S△OFA+S△OAB=y1+=y1+≥2=4.综上,Smin=4.2.(2017·陕西教学质量检测)已知F1,F2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆E上,且
28、PF1
29、+
30、PF2
31、=4.(1)求椭圆E的方程;(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1⊥l2,问是否存在常数λ,使得,λ,成等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【导学号:07804097】[解]
32、 (1)∵
33、PF1
34、+
35、PF2
36、=4,∴2a=4,a=2.∴椭圆E:+=1.将P代入可得b2=3,∴椭圆E的方程为+=1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时,+=+=;②当AC的斜率k存在且k≠0时,AC的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=.
37、AC
38、=
39、x1-x2
40、==.∵直线BD的斜率为-,∴
41、BD
42、==.∴+=+=.综上,2λ=+=,∴λ=.故存在常数λ=,使得,λ,成等差数列.3.
43、(2017·长沙模拟)如图134,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Г过定点B(1,0),直线l是圆Г在点B处的切线,过A(-1,0)作圆Г的两条切线分别与l交于E,F两点.图134(1)求证:
44、EA
45、+
46、EB
47、为定值;(2)设直线l交直线x=4于点Q,证明:
48、EB
49、·
50、FQ
51、=
52、FB
53、·
54、EQ
55、.[解] (1)设AE切圆Г于点M,直线x=4与x轴的交点为N,故
56、EM
57、=
58、EB
59、.从而
60、EA
61、+
62、EB
63、=
64、AM
65、=====4.所以
66、EA
67、+
68、EB
69、为定值4.(2)由(1)同理可知
70、FA
71、+
72、FB
73、=4,故E,F均在椭圆
74、+=1上.设直线EF的方程为x=my+1(m≠0).令x=4,求得y=,即Q点纵坐标yQ=.由得,(3m2+4)y2+6my-9=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-.因为E,B,F,Q在同一条直线上,所以
75、EB
76、·
77、FQ
78、=
79、FB
80、·
81、EQ
82、等价于(yB-y1)(yQ-y2)=(y2-yB)(yQ-y1),即-y1·+y1y2=y2·-y1y2,等价于2y1y2=(y1+y2)·.将y1+y2=-,y1y2=-代入,知上式成立.所以
83、EB
84、·
85、FQ
86、=
87、FB
88、·
89、EQ
90、.4.(201
91、7·衡水模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求·的取值范围;(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.【导学号:07804098】[解] (1)由题意知=,=b,即b=.又a2=b2+c2,所以a=2,c=1.故椭圆C的方程为+=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2).
92、由消去y可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.则Δ=322k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,解得0≤k2<.易知x1+x2=,x1x2=,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=(1+k2)·