2018年高中数学 课时跟踪检测(十八)简单的线性规划问题 苏教版必修5

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1、课时跟踪检测(十八)简单的线性规划问题层级一 学业水平达标1.若变量x,y满足约束条件则x+2y的最大值是________.解析:作出题设约束条件的平面区域如图中阴影部分所示,平移直线l0:x+2y=0至点A时,x+2y取得最大值.由⇒可得(x+2y)max=+2×=.答案:2.已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于________.解析:由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC内部及边界部分,由目标函数z=2x+y的几何意义为直线l:y=-2x+z在y轴上的截距,知当直线l过可行域内的点A(1,

2、-2a)时,目标函数z=2x+y的最小值为1,则2-2a=1,a=.答案:3.已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围为________.解析:作出如图可行域,由z=y-ax得y=ax+z可知,直线在y轴上的截距最大时,z最大,结合图象可知,在A(1,3)处取得最大值,需a>1.答案:(1,+∞)4.若变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为________.解析:如图,画出约束条件表示的可行域,当目标函数z=x-2y经过x+y=0与x-y-2=0的交点A

3、(1,-1)时,取到最大值3.答案:35.如图所示,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2x-y的最小值为________.解析:由图知,目标函数在点A(1,1)时,2x-y=1;在点B(,)时,2x-y=2->1;在点C(,1)时,2x-y=2-1>1;在点D(1,0)时,2x-y=2-0=2>1,故最小值为1.答案:16.已知实数x,y满足若z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a的值为________.解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域,如图所示.要使z=y-ax取得最大

4、值时的最优解(x,y)有无数个,则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0,于是有a=1.答案:17.如果实数x,y满足条件那么z=4-x·2y的最大值为________.解析:可行域为如图所示的阴影部分,A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(-2,-1),(0,-1),直线y=2x+t过点B(-2,-1)时,t取得最大值3,故z=4-x·2y=2-2x+y的最大值为8.答案:88.设变量x,y满足约束条件且不等式x+2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是________.解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示

5、,显然a≥8,否则可行域无意义.由图可知x+2y在点(6,a-6)处取得最大值2a-6,由2a-6≤14得,a≤10.答案:[8,10]9.直线l:x=my+n(n>0)过点A(4,4),若可行域的外接圆直径为.求实数n的值.解:作出可行域如图所示,过原点的直线OA的倾斜角为60°,由直线l:x=my+n(n>0)过点A(4,4),可得4=4m+n.又由可解得两直线的交点坐标即为A(4,4),又点B坐标为(n,0),∴=,∴AB=7,∴(4-n)2+(4)2=49,∴n=3或5.10.已知x,y满足条件:求:(1)4x-3y

6、的最大值和最小值;(2)x2+y2的最大值和最小值.解:(1)作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2),设z=4x-3y.直线4x-3y=0经过原点(0,0).作一组与4x-3y=0平行的直线l:4x-3y=t.则当l过C点时,t值最小;当l过B点时,t值最大.∴z最大值=4×(-1)-3×(-6)=14,z最小值=4×(-3)-3×2=-18.故4x-3y的最大值为14,最小值为-18.(2)设u=x2+y2,则为点(x,y)到原点(0,0)的距离.结合不等式组所表示的

7、区域,不难知道:点B到原点距离最大;而当(x,y)在原点时,距离为0.∴u最大值=(-1)2+(-6)2=37,u最小值=0,∴x2+y2的最大值为37,最小值为0.层级二 应试能力达标1.设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________.解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2x-y=0的距离最小,d==<1,故最小距离为.答案:2.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是________.解析:由已知不等式组作可行域如图阴影部分所示.令x

8、+2y=k,则y=-x+,问题由求k的最小值转化为求直线y=-x+的纵截距的最小值.显然当直线y=-x+过原点O时,截距最小,此时kmin=0,z=3x+2y的最小值为1.答案:13.已知x,y满足不等式组且z=2x+y的最大值是最小值的3倍,则a=________.解析:依题意可知a<1

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