2018年高中数学 课时跟踪检测（十八）简单的线性规划问题 苏教版必修5

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1、课时跟踪检测（十八）简单的线性规划问题层级一　学业水平达标1．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是________．解析：作出题设约束条件的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：x＋2y＝0至点A时，x＋2y取得最大值．由⇒可得(x＋2y)max＝＋2×＝.答案：2．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于________．解析：由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点A(1，

2、－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝.答案：3．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为________．解析：作出如图可行域，由z＝y－ax得y＝ax＋z可知，直线在y轴上的截距最大时，z最大，结合图象可知，在A(1,3)处取得最大值，需a>1.答案：(1，＋∞)4．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为________．解析：如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数z＝x－2y经过x＋y＝0与x－y－2＝0的交点A

3、(1，－1)时，取到最大值3.答案：35．如图所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．解析：由图知，目标函数在点A(1,1)时，2x－y＝1；在点B(，)时，2x－y＝2－>1；在点C(，1)时，2x－y＝2－1>1；在点D(1,0)时，2x－y＝2－0＝2>1，故最小值为1.答案：16．已知实数x，y满足若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大

4、值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案：17．如果实数x，y满足条件那么z＝4－x·2y的最大值为________．解析：可行域为如图所示的阴影部分，A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(－2，－1)，(0，－1)，直线y＝2x＋t过点B(－2，－1)时，t取得最大值3，故z＝4－x·2y＝2－2x＋y的最大值为8.答案：88．设变量x，y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示

5、，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10.答案：[8,10]9．直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(4,4)，若可行域的外接圆直径为.求实数n的值．解：作出可行域如图所示，过原点的直线OA的倾斜角为60°，由直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(4，4)，可得4＝4m＋n.又由可解得两直线的交点坐标即为A(4,4)，又点B坐标为(n,0)，∴＝，∴AB＝7，∴(4－n)2＋(4)2＝49，∴n＝3或5.10．已知x，y满足条件：求：(1)4x－3y

6、的最大值和最小值；(2)x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，设z＝4x－3y.直线4x－3y＝0经过原点(0,0)．作一组与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t.则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大．∴z最大值＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z最小值＝4×(－3)－3×2＝－18.故4x－3y的最大值为14，最小值为－18.(2)设u＝x2＋y2，则为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的

7、区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，u最小值＝0，∴x2＋y2的最大值为37，最小值为0.层级二　应试能力达标1．设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1，0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝<1，故最小距离为.答案：2．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．解析：由已知不等式组作可行域如图阴影部分所示．令x

8、＋2y＝k，则y＝－x＋，问题由求k的最小值转化为求直线y＝－x＋的纵截距的最小值．显然当直线y＝－x＋过原点O时，截距最小，此时kmin＝0，z＝3x＋2y的最小值为1.答案：13．已知x，y满足不等式组且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝________.解析：依题意可知a<1