2018年高考数学 考点通关练 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 27 平面向量的数量积及应用试题 文

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1、考点测试27　平面向量的数量积及应用一、基础小题1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(m,1)，m∈R，若a⊥b，则m的值为(　　)A．－B．C．2D．－2答案　A解析　由a⊥b，得a·b＝0，即－2m－1＝0，则m＝－.故选A.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．16答案　D解析　因为cosA＝，故·＝

2、

3、

4、

5、cosA＝

6、

7、2＝16，故选D.3．已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为(　　)A．x

8、C．x

9、a

10、＝3，

11、b

12、＝5且a·b＝12，则a在b方向上的投影为(　　)A．B．3C．4D．5答案　A解析　向量a在b方向上的投影为

13、a

14、cos〈a，b〉＝＝，故选A.5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ等于(　　)A．B．C．D．答案　A解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0

15、)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.6．已知向量a，b夹角为45°，且

16、a

17、＝1，

18、2a－b

19、＝，则

20、b

21、＝________.答案　3解析　由题意得(2a－b)2＝4

22、a

23、2＋

24、b

25、2－4a·b＝4＋

26、b

27、2－4×1×

28、b

29、cos45°＝10，即

30、b

31、2－2

32、b

33、－6＝0，解得

34、b

35、＝3.7．已知

36、a

37、＝

38、b

39、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与

40、b的夹角为________．答案　解析　由

41、a

42、＝

43、b

44、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.8．在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．答案　[2,5]解析　如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C，D，设M(x1，(x1－2))，N，由条件可得2

45、

46、＝

47、

48、，代入坐标化简得4x1＋x2＝，得x2＝－4x1，所以·＝(

49、x1，(x1－2))·＝x1＋(x1－2)＝－4x＋12x1－3，x1∈.由二次函数的图象可知y＝－4x＋12x1－3在x1∈上是减函数，所以·的取值范围是[2,5]．二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅲ]已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°答案　A解析　cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°，故选A.10．[2016·山东高考]已知非零向量m，n满足4

50、m

51、＝3

52、n

53、，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)A．4B．－4C．D．－答案　B解析

54、　因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n2＝0，所以m·n＝－，又4

55、m

56、＝3

57、n

58、，所以cos〈m，n〉＝＝＝－＝，所以t＝－4.故选B.11．[2016·天津高考]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－B．C．D．答案　B解析　建立平面直角坐标系，如图．则B，C，A，所以＝(1,0)．易知DE＝AC，则EF＝AC＝，因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为，所以＝，所以·＝·(1,0)＝.故选B.12．[2016·

59、全国卷Ⅰ]设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.答案　－解析　因为a⊥b，所以x＋2(x＋1)＝0，解得x＝－.13．[2016·浙江高考]已知平面向量a，b，

60、a

61、＝1，

62、b

63、＝2，a·b＝1.若e为平面单位向量，则

64、a·e

65、＋

66、b·e

67、的最大值是________．答案　解析　解法一：由已知易得a，b所成角为60°，如图．设向量e与a所成角为α，e与b所成角为β，则α与β的关系为β＝60°－α(e在区域Ⅰ)或β＝60°＋α(e在区域Ⅱ)或β＝300°－α(e在区域Ⅲ)或β

68、＝α－60°(e在区域Ⅳ)．当β＝60°－α(e在区域Ⅰ)时，

69、a·e

70、＋

71、b·e

72、＝cosα＋2cosβ＝2cosα＋sinα＝sin(α＋φ)，其中tanφ＝，则φ>30°，∵φ≤α＋φ≤60°＋φ，∴

73、a·e

74、＋

75、b·e

76、的最大值为.同理可得另三种情况下所求最大值均为.故

77、a·e

78、＋

79、b·e

80、的最大值为.解法二：∵

81、a·e

82、＋

83、b·e

84、＝＋，即a在e方向上投影的绝对值与b在e方向