2018年高考数学 破解命题陷阱 专题26 快速解决圆锥曲线的方程与性质

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1、专题26快速解决圆锥曲线的方程与性质一．命题陷阱：1.圆锥曲线定义陷阱；2.焦点位置不同，造成的标准方程不同；3.圆锥曲线性质的应用陷阱；4.在求距离、弦长时繁杂的运算陷阱；5．在圆锥曲线中与三角形面积有关的运算技巧陷阱.二．知识点回顾1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．2．椭圆的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中3．椭圆的几何性质以为例(1)范围：．(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：

2、长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆．(5)的关系：.4．双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．5．双曲线的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中6．双曲线的几何性质以为例(1)范围：．(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.(4)离心率(5)渐近线方程.7．抛物线的定义：平面内与一个定点和

3、一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1)．对应的焦点分别为：.(2)离心率.三．例题分析1、圆锥曲线定义陷阱例1.设椭圆的左、右焦点分别为，是上任意一点，则的周长为A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意的周长为:,故选D防陷阱措施：在有关焦点三角形中注意运用圆锥曲线的定义.练习1.椭圆上的点到一个焦点的距离为，是的中点，则点到椭圆中心的距离为（）．A.B.C.D.【答案】B练习2.设分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，在轴

4、上的截距为1，若，且轴，则此椭圆的长轴长为（）A.B.3C.D.6【答案】D【解析】轴，在轴上的截距为1，则，，则，，，，，，，.选D.例2.已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)A.(1，＋∞)B.(1,2]C.(1，]D.(1,3]【答案】D防陷阱措施：在有关问题中注意运用圆锥曲线的定义和平面几何性质.练习1.已知是双曲线的右焦点，是轴正半轴上一点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点（为坐标原点）.若点三点共线，且的面积是的面

5、积的倍，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得，,即，选D.练习2.设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】B又双曲线的离心率,故答案选例3.已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（）A.B.C.D.【答案】D防陷阱措施：在有关问题中注意运用圆锥曲线的定义和平面几何性质.练习1.设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，那

6、么()A.B.C.D.【答案】B【解析】设，则由可得，即，所以由抛物线的定义可得，应选答案B。练习2.已知抛物线的焦点为，，为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】规律总结：1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，通常利用定义求解.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为，或设为.3.椭圆中有“两轴”(两条对称轴)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)及相互间的距离等.4

7、.注意平面几何知识的运用.5.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．6．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．2.圆锥曲线方程，焦点在轴上陷阱例4.椭圆的一个顶点在抛物线的准线上，则椭圆的离心率（）A.B.C.4D.【答案】B防陷阱措施：圆锥曲线的标准方程问题中，首先要考查焦点的位置.练习1.椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由椭圆方

8、程可知：∴，∴椭圆的离心率为故选：B练习2.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（）．A.B.C.D.或【答案】B【解析】∵方程表示双曲线，∴∴故选：B3.圆锥曲线性质的应用陷阱例5.有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题得：设周长为当且仅当共线时，周长的最小。防陷阱措施：这类问题要充分考