年高考数学 破解命题陷阱 专题 函数的零点与方程的根的解题方法

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1、专题04函数的零点与方程的根的解题方法一．命题陷阱：1．复合函数零点问题陷阱（忽视定义域陷阱）2．函数零点个数与参数问题（图象不完备陷阱）3.函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱）4.函数的性质在函数零点中的应用（忽视周期性陷阱）5.函数零点与不等式综合（运用均值不等式时的条件陷阱）6.方程的根的求解问题7.分段函数的零点问题8.零点问题中新定义问题9.零点与导数、数列等的综合二、陷阱典例及训练1．复合函数陷阱（忽视定义域陷阱）例1.已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，所以，令，则，又有两个零点，则有解，则存在解，32又，【陷阱防范措施】注

2、意复合函数性质的使用，并注意定义域限制练习1.设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】作出函数的图象如图，令，则方程化为，要使关于的方程，恰好有六个不同的实数根，则方程在内有两个不同实数根，，解得32实数的取值范围是，故选B.【思路总结】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是

3、转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.练习2．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A作出函数f（x）的图象，由图象知当x＞0时，有一个解，则等价为当x≤0时，f（x）==1无解，即若k＞0，满足=1无解，若k＜0，则函数f（x）=在x≤0时为增函数，则函数的最大值为，此时只要满足，即，即可，综上实数k的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞），故选：A32【思路总结】：本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法将条件转化为两个函数的交点个数问题是解决本

4、题的关键．利用数形结合以及分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．练习3设函数，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A故答案为A。练习4.已知，若关于的方程恰好有432个不相等的实数解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∴函数f（x）=在（0，+∞）上有一个最大值为f（1）=，作出函数f（x）的草图如图：设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，当m=时，方程m=f（x）有2个解，当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，当m=0时，方程m=f（x），有1个解，当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，32则方程f2（x）

5、﹣tf（x）+t﹣1=0等价为m2﹣tm+t﹣1=0，要使关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m2﹣tm+t﹣1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，设g（m）=m2﹣tm+t﹣1，则解得1＜t＜1+，故答案选：C。练习5.若函数，函数的零点个数是___________.【答案】42.函数零点个数与参数问题（图象错误陷阱）例2．若方程有两个不等的实数根，则的取值范围是（）A.B.C.D.32【答案】C【解析】由方程得：，因为的最低点为，当过时有一个交点，此时，所以要让方程两个不等实数根，只需，故选C.【陷阱防范措施】这类问题采用数形结合法练习

6、1.．已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、方程与函数思想以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”32的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．练习2.已知函数有唯一零点，则实数()A.B.C.D.1【答案】C∴函数的

7、图象的最高点为，函数的图象的最高点为∵∴此时函数的图象与的图象有两个交点，不成立；当时，由在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递减，在上单调递增。∴函数的图象的最高点为，函数的图象的最低点为∵此时函数的图象与的图象只有一个交点∴，即32故选C点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：现将参数分离，转化为函数的值域问题解决；（3）数形