2018年高考数学 专题09 函数模型及其应用热点题型和提分秘籍 理

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1、专题09函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。热点题型一一次函数或二次函数模型例1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是

2、车流密度x的一次函数。(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式。(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值。(精确到1辆/小时)。(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立。所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值≈3333。综上，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大约为33

3、33辆/小时。【提分秘籍】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型。解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。(2)以分段函数的形式考查。解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值

4、是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域。(2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解。【举一反三】某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元。一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)A．10元　　　B．20元C．30元D.元解析：设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝。当t＝150时，150k2－

5、150k1－20＝150×－20＝10(元)。答案：A热点题型二函数y＝x＋模型的应用例2、某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？【提分秘籍】应用函数y＝x＋模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的。(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式。(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等

6、号成立的条件。【举一反三】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。(1)求k的值及f(x)的表达式。(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。解析：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)。(2)f(x)＝6x＋10＋

7、－10≥2－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立。所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元。热点题型三指数函数与对数函数模型例3．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线。(1)写出第一次服药后，y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步