2019版高考数学一轮复习 第十二章 不等式选讲 第69讲 绝对值不等式学案

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1、第69讲　绝对值不等式考纲要求考情分析命题趋势1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)≤＋.(2)≤＋.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：≤c，≥c，＋≥c.2017·全国卷Ⅰ，232016·全国卷Ⅰ，242016·全国卷Ⅲ，242016·江苏卷，21(D)解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.分值：5～10分1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么≤＋，当且仅当__ab≥0__时，等号成立．定理2：如果a，b

2、，c是实数，那么≤＋，当且仅当__(a－c)(c－b)≥0__时，等号成立．2．含绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式＜a，＞a的解集不等式a＞0a＝0a＜0＜a__{x

3、－a＜x＜a}____∅____∅__＞a__{x

4、x＞a或x＜－a}____{x

5、x∈R且x≠0}____R__(2)≤c(c＞0)和≥c(c＞0)型不等式的解法①≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)．(1)对≥－当且仅当a＞b＞0时等号成立．(　×　)(2)对－≤当且仅当＞

6、时等号成立．(　×　)(3)对≤＋当且仅当ab≤0时等号成立．(　√　)(4)≤c的解等价于－c≤ax＋b≤c.(　√　)(5)不等式＋＜2的解集为∅.(　√　)2．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是(　C　)A．＞　　B．＜＋C．＜　　D．＜解析由ab＜0，得a，b异号，易知

7、a＋b

8、＜

9、a－b

10、，

11、a－b

12、＝

13、a

14、＋

15、b

16、，

17、a－b

18、＞

19、

20、a

21、－

22、b

23、

24、，∴C项成立，A，B，D项均不成立．3．不等式1＜＜3的解集为(　D　)A．(0,2)　　B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0)　　D．(－4，－2)∪(

25、0,2)解析1＜

26、x＋1

27、＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2或－4＜x＜－2.4．不等式

28、2x－1

29、＜2－3x的解集是(　C　)A．　　　　B．C．　　　　D．解析

30、2x－1

31、＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔⇔⇔x＜.5．若不等式

32、3x－b

33、＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为__(5,7)__．解析由

34、3x－b

35、＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜，∵不等式

36、3x－b

37、＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⇒∴5＜b＜7.一　绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式时，若两

38、个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简单．若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．【例1】解不等式

39、x－1

40、＋

41、x＋2

42、≥5.解析将原不等式转化为

43、x－1

44、＋

45、x＋2

46、－5≥0，令f(x)＝

47、x－1

48、＋

49、x＋2

50、－5，则f(x)＝作出函数的图象，如图所示．由图可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．二　绝对值不等式的证明(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式

51、

52、

53、a

54、－

55、b

56、

57、≤

58、a±b

59、≤

60、a

61、＋

62、b

63、进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．【例2】设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，若

64、a

65、≤1，求证：

66、f(x)

67、≤.证明方法一　∵－1≤x≤1，∴

68、x

69、≤1.又∵

70、a

71、≤1，∴

72、f(x)

73、＝

74、a(x2－1)＋x

75、≤

76、a(x2－1)

77、＋

78、x

79、≤

80、x2－1

81、＋

82、x

83、＝1－

84、x

85、2＋

86、x

87、＝－2＋≤.方法二　设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1，当x＝±1，即x2－1＝0时，

88、f(x)

89、＝

90、g(a)

91、＝1≤；

92、当－1

93、a

94、≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－2＋；g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝2－.∴－≤g(a)≤，∴

95、f(x)

96、＝

97、g(a)

98、≤.三　绝对值不等式的综合应用对于求y＝

99、x－a

100、＋

101、x－b

102、或y＝

103、x＋a

104、－

105、x－b

106、型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝

107、x－a

108、＋

109、x－b

110、的函数只有最小值，形如y＝

111、x－a

112、－

113、x－b

114、的函数既有最大值又有最小值．【例3】已知函数f(x)＝

115、2x＋1

116、

117、＋

118、2x－3

119、＋a.(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥6；(2)若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝0时，求得f(x)＝由f(x)≥6⇒x≤－1或x≥2.所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(2)因为

120、2x＋1

121、＋

122、2x－3

123、≥

124、(2x＋1)－(2x－3)

125、＝4.所以f(x)min＝4