高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第讲绝对值不等式学案

高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第讲绝对值不等式学案

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1、第69讲 绝对值不等式考纲要求考情分析命题趋势1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:(1)≤+.(2)≤+.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:≤c,≥c,+≥c.2017·全国卷Ⅰ,232016·全国卷Ⅰ,242016·全国卷Ⅲ,242016·江苏卷,21(D)解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容,其中以解含有两个绝对值的不等式为主.分值:5~10分1.绝对值三角不等式定理1:如果a,b是实数,那么≤+,当且仅当__ab≥0__时,等号成立.定理2:如果a,b,c是实数,那么≤+

2、,当且仅当__(a-c)(c-b)≥0__时,等号成立.2.含绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式<a,>a的解集不等式a>0a=0a<0<a__{x

3、-a<x<a}____∅____∅__>a__{x

4、x>a或x<-a}____{x

5、x∈R且x≠0}____R__(2)≤c(c>0)和≥c(c>0)型不等式的解法①≤c⇔-c≤ax+b≤c;②≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.1.思维辨析(在括内打“√”或打“×”).(1)对≥-当且仅当a>b>0时等号成立.( × )(2)对-≤当且仅当>时等号成立.( × )9(3)对≤+当且

6、仅当ab≤0时等号成立.( √ )(4)≤c的解等价于-c≤ax+b≤c.( √ )(5)不等式+<2的解集为∅.( √ )2.设ab<0,a,b∈R,那么正确的是( C )A.>  B.<+C.<  D.<解析由ab<0,得a,b异号,易知

7、a+b

8、<

9、a-b

10、,

11、a-b

12、=

13、a

14、+

15、b

16、,

17、a-b

18、>

19、

20、a

21、-

22、b

23、

24、,∴C项成立,A,B,D项均不成立.3.不等式1<<3的解集为( D )A.(0,2)  B.(-2,0)∪(2,4)C.(-4,0)  D.(-4,-2)∪(0,2)解析1<

25、x+1

26、<3⇔1<x+1<3或-3<x+

27、1<-1⇔0<x<2或-4<x<-2.4.不等式

28、2x-1

29、<2-3x的解集是( C )A.    B.C.    D.解析

30、2x-1

31、<2-3x⇔3x-2<2x-1<2-3x⇔⇔⇔x<.5.若不等式

32、3x-b

33、<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为__(5,7)__.解析由

34、3x-b

35、<4得-4<3x-b<4,即<x<,∵不等式

36、3x-b

37、<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则⇒∴5<b<7.一 绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式时,若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1),可选用几何法或图象法求解较为简单.若x的

38、系数不全为1,则选用零点分段讨论法求解,同时注意端点值的取舍.【例1】解不等式

39、x-1

40、+

41、x+2

42、≥5.9解析将原不等式转化为

43、x-1

44、+

45、x+2

46、-5≥0,令f(x)=

47、x-1

48、+

49、x+2

50、-5,则f(x)=作出函数的图象,如图所示.由图可知,当x∈(-∞,-3]∪[2,+∞)时,y≥0,∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).二 绝对值不等式的证明(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明.(2)利用三角不等式

51、

52、a

53、-

54、b

55、

56、≤

57、a±b

58、≤

59、a

60、+

61、b

62、进行证明.(3)转化为函数问题,数形结合进行证明.

63、【例2】设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),若

64、a

65、≤1,求证:

66、f(x)

67、≤.证明方法一 ∵-1≤x≤1,∴

68、x

69、≤1.又∵

70、a

71、≤1,∴

72、f(x)

73、=

74、a(x2-1)+x

75、≤

76、a(x2-1)

77、+

78、x

79、≤

80、x2-1

81、+

82、x

83、=1-

84、x

85、2+

86、x

87、=-2+≤.方法二 设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x.∵-1≤x≤1,当x=±1,即x2-1=0时,

88、f(x)

89、=

90、g(a)

91、=1≤;当-1

92、a

93、≤1,∴-1≤a≤1,∴g(a)m

94、ax=g(-1)=-x2+x+1=-2+;g(a)min=g(1)=x2+x-1=2-.∴-≤g(a)≤,∴

95、f(x)

96、=

97、g(a)

98、≤.三 绝对值不等式的综合应用对于求y=

99、x-a

100、+

101、x-b

102、或y=

103、x+a

104、-

105、x-b9

106、型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y=

107、x-a

108、+

109、x-b

110、的函数只有最小值,形如y=

111、x-a

112、-

113、x-b

114、的函数既有最大值又有最小值.【例3】已知函数f(x)=

115、2x+1

116、+

117、2x-3

118、+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)≥6;(2)若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解

119、析(1)当a=0时,求得f(x)=由f(x)≥6⇒x≤-1或x≥2.所以不等式的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞).(2)因为

120、2x+1

121、+

122、2x-3

123、≥

124、(2x+1)-(2x-3)

125、=4.所以f(x)mi

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