2019版高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率 第62讲 离散型随机变量的均值与方差学案

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1、第62讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求考情分析命题趋势1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2017·全国卷Ⅰ，192016·山东卷，192016·福建卷，161.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查．2．离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结合，以实际问题为背景进行考查.分值：5～12分1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为

2、Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn__为随机变量X的均值或__数学期望__，它反映了离散型随机变量取值的__平均水平__．(2)方差称D(X)＝__(xi－E(X))2pi__为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的__平均偏离程度__，其算术平方根为随机变量X的__标准差__．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__(a，b为常数)．(2)D(aX＋b)＝__a2D(X)__(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X

3、)＝__p__，D(X)＝__p(1－p)__．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__．4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；③曲线在__x＝μ__处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，

4、曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(a

5、值就是算术平均数，与概率无关．(　×　)(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(　√　)(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(　√　)(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.(　√　)2．某射手射击所得环数ξ的分布列如下.ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为(　A　)A．0.4　　B．0.6　　C．0.7　　D．0.9解析∵∴3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分

6、别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　A　)A．1＋a,4　　B．1＋a,4＋aC．1,4　　D．1,4＋a解析∵x1，x2，…，x10的均值与方差分别为1和4.∴i＝10，(xi－1)2＝40，∴i＝(xi＋a)＝i＋10a＝10＋10a.∴y1，y2，…，y10的均值为1＋a.又(yi－1－a)2＝(xi－1)2＝40，∴y1，y2，…，y10的方差为4.4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝____.解析设P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y，则＋x＋y＝1，①

7、E(ξ)＝0×＋x＋2y＝1，②由①②可知x＝，y＝，∴D(ξ)＝(1－0)2＋(1－1)2＋(1－2)2＝.5．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为____.解析在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为4×4，故试验成功的概率P＝1－＝＝，则在10次试验中成功次数的均值E(ξ)＝10×＝.一　离散型随机变量的均值、方差离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随