2017秋八年级数学上册 第13章 全等三角形 微卷专训3 四种常见的几何关系的探究试题 （新版）冀教版

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1、专训3　四种常见的几何关系的探究名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系．位置关系1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.(第1题)相等关系2．【中考·珠海】已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”“＜”或“＝”)(2)如图②

2、，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BH＝GF.(第2题)和差关系3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．(第3题)不等关系4．【中考·贵阳】(1)阅读理解：　如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转18

3、0°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________________________________________________________________________；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证BE＋CF＞EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD,∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的

4、两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．【导学号：42282025】(第4题)答案1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N.∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.(第1题)2．(1)＝(2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，∵MN∥BC，RC∥EH，∴

5、∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，易得∠GRC＝∠RGC，∴△CGR是等腰三角形．∴CG＝CR.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴四边形RCEH为平行四边形，∴CR＝EH.∴CG＝HE.(第2题)由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.易得∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.3．解：猜想：EF＝BE＋AF.证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，∠BCA＝α＝∠BEC，∴∠CBE＝∠ACF.又∵∠BEC＝∠

6、CFA＝α，CB＝AC，∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.4．(1)2EG，∴BE＋CF>EF.方法二：如

7、图，作∠EDG＝∠EDB，在DG边上截取DG＝DB，连接EG，FG，[第4(2)题方法二]∵DE＝DE，∠EDG＝∠EDB，DG＝DB，∴△EDG≌△EDB(SAS)．∴BE＝EG.∵点D是BC的中点，∴DC＝DB.∴DG＝DC.∵ED⊥FD，∴∠EDF＝90°.∴∠EDG＋∠FDG＝90°，∠BDE＋∠FDC＝90°，∴∠FDG＝∠FDC.∵DF＝DF，∴△FDG≌△FDC(SAS)．∴FG＝FC.∵在△EFG中，EG＋FG>EF，∴BE＋CF>EF.(3)解：BE＋DF＝EF.理由如下：方法一：如图，延长AB至点G，

8、使BG＝DF，连接CG.[第4(3)题方法一]∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D.∵CB＝CD，∴△CBG≌△CDF(SAS)．∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF＋∠BCE＝70°.∴∠BCE＋∠BCG＝70°.∴∠ECG＝70