2017秋八年级数学上册 第13章 全等三角形 微卷专训2 构造全等三角形的六种常用方法试题 （新版）冀教版

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1、专训2　构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．翻折法1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第1题)构造法2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠AD

2、C＝∠BDF.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．(第3题)平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4题)倍长中线法5．如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.求证：AC＝BF.(第5题)截长(补短)与旋转法6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，

3、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．【导学号：42282022】(第6题)答案1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.(第1题)2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋

4、∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠DBF＝45°，又∵∠DBG＝90°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.(第2题)点拨：本题运用了构造法

5、，通过作辅助线构造△CBG和△BGF是解题的关键．3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH和△ADF中，∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝∠HAF＝45°.　(第3题)点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，

6、使AD边与AB边重合，得到△ABH.4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.易知∠DAO＝∠QAO，又∵OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.∴OD＝OQ，AD＝AQ.又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴△DOB是等腰三角形．∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠

7、ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.∴∠BOP＝∠APB，∴△BOP是等腰三角形，∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.5．证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，在△BDG和△CDA中，∴△BDG≌△CDA(SAS)，∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，又∵∠BFG＝∠AFE，∴∠CAD＝∠BFG，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF.6．解：EF＝

8、BE＋FD.证明如下：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.此时，可看作将△ABE绕点A旋转到△ADG.(第6题)∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，