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1、构造全等三角形常用的方法湖北省仙桃一中初中部 林明祥 平面几何中为了勾通已知条件之间的联系，以达到证明的目的，常常要构造全等三角形，这是几何证明常用的一种方法。构造全等三角形常用的方法有以下几类。一、依托相等线段构造全等三角形ABCEFDG例1 如图，△ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，且DF=EF,连接DE交BC于F,求证：BD=CE. 分析：以DF=FE为依托，过D点作DG∥AE交BC于G,则△CEF≌△GDF,这样就把BD=CE联系起来了，实际上是把CE转移到了DG的位置。当然，也可以过点E作AB的平行线构造全等三角形，道理是一样的。
2、 以要证明的相等线段为依托也可以构造全等三角形。例2 如图，AD∥BC,AE、BE分别是∠DAB、∠ABC的平分线，求证：DE=CE.ABCEDG分析：以要证明的线段DE=CE为依托，即假设DE=CE,因为AD∥BC（不必再作平行线）,所以延长AE、BC相交于G（也可以延长AE后，在AE上截取AE=EG）,则可构造△ADE≌△GCE，从而把AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC联系起来了。依托相等线段构造全等三角形可以经过相等线段的一端作平行线，也可截取相等线段来构造.二、依托中线构造全等三角形ABCED例3 已知，如图，在△ABC中，BD是边AC的
3、中线，DB⊥BC于B,∠ABC=1200,求证:AB=2BC. 分析：把中线BD延长一倍到点E，连接AE,则△BCD≌ △EAD，这样BC就转移到了和AB在同一个含300角的直角三 角形中。当然，也可以作平行线来构造。 依托中线构造全等三角形可以看成是依托相等线段构造全等三角形的特例，因而构造方法相同。三、依托角平分线构造全等三角形依托角平分线构造全等三角形有二种情况。（一）在角两边截取相等线段ABCED例4 如图，BC＞AB,BD平分∠ABC且AD=DC,求证:∠A+∠C=1800.分析
4、：在边BC上截取AB=BE,连接DE,则△BAD≌△BED,这样，AD转移到了DE的位置，∠A与∠C就建立了联系。也可看成△BAD翻折到了△BED的位置。(二)延长角平分线的垂线ABCEFD例5 如图，AC=BC,∠C=900,AD是∠CAB的平分线交BC于D,作BE⊥AD的延长线于E,求证:AD=2BE.分析：延长∠CAB的平分线AD的垂线BE,交AC的延长线于F,则△ABD≌△AFE，这样，证明AD=2BE就转化为证明AD=BF，同时也勾通了AC=BC与∠C=900的联系。 四、依托相等线段和角平分线构造全等三角形ABCEFD例6 如图，CD平分∠ACB,AD=
5、DB,求证：AC=BC.分析：依托角平分线DC和相等线段AD=DB,过点D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,则△ABE≌△BDF，这样，角平分线DC和AD=DB就建立了联系。ABCEFD例7 如图，BD平分∠ABC，∠A+∠C=1800，求证:DC=DA.分析：依托角平分BD和要证明的相等线段AD=DC,过点D作DE垂直BA的延长线于E,作DF⊥BC于F,则△ADE≌△CFD，这样，∠A与∠C就建立了联系。例6与例7本质是一样的，只是所作的垂线与已知线段的位置有所不同而已。 依托角平分线和相等线段构造全等三角形只需过线段的交点（该交点也在角平分线上）作角两边的垂线即
6、可。
