2018版高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教b版必修1

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1、2．4.1　函数的零点学习目标　1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．知识点　函数零点的概念思考1　函数的“零点”是一个点吗？　　　思考2　函数一定都有零点吗？　　梳理　1.函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值______，即________，则α叫做这个函数的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)________．3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函

2、数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，x2有一个二重零点x1＝x2没有零点类型一　求函数的零点例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝.　　　反思与感悟　求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1　求下列函数的零点．(1)

3、f(x)＝x2－；(2)y＝(ax－1)(x＋2)．　　　类型二　函数零点个数的判断例2　已知函数f(x)＝

4、x2－2x－3

5、－a，求实数a取何值时函数f(x)＝

6、x2－2x－3

7、－a，①有两个零点；②有三个零点．引申探究　若f(x)＝x2－2

8、x

9、＋a－1有四个不同的零点，求a的取值范围．　　　　　　　反思与感悟　判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．(3)转化为两个函数图象交点问题．例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝

10、g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．跟踪训练2　已知a∈R，讨论关于x的方程

11、x2－6x＋8

12、＝a的实数解的个数．　　　　　　类型三　函数零点性质的应用例3　已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．　　　　　　　反思与感悟　解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．跟踪训练3　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0

13、)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．　　　　　　　1．下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)2．函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是(　　)A．(0，±2)；±2B．(±2,0)；±2C．(0，－2)；－2D．(－2,0)；23．如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是(　　)A．(－2,6)B．[－2,6]C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)D．{－2,6}4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.5．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是3，则函数g(x)＝bx2＋3

14、ax的零点是________．1．函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的零点．2．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．答案精析问题导学知识点　思考1　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．思考2　不是．只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点．梳理　1．等于零　f(α)＝0　2.有实数根　与x轴有交点　有零点题型探究例1　

15、解　(1)存在．因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝(8x＋1)(－x＋1)，所以方程－8x2＋7x＋1＝0有两个实根－和1，即函数f(x)＝－8x2＋7x＋1的零点是－和1.(2)存在．令f(x)＝0，即＝0，解方程得x＝－6(x＝2舍去)，所以函数f(x)＝的零点是－6.跟踪训练1　解　(1)∵f(x)＝x2－，∴x≠0.令f(x)＝0，即x3－1＝0，∴x＝1，∴f(x)＝x2－的零点为1.(2)①当a＝