高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学案 新人教B版必修.doc

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1、2.4.1　函数的零点[学习目标]　1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.[知识链接]考查下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.答案　方程x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝0x2－2x＋3＝0函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图象方程的实数根x1＝－1，

2、x2＝3x1＝x2＝1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)，(3,0)(1,0)无交点[预习导引]1.函数的零点(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.(2)性质①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号.2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系判别式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)Δ＞0两个零点：x＝两不等实根：x＝Δ＝0一个二重零点：x＝－两相等实根：x＝－Δ＜0无零点无实根要点一　求函数的零点例1　求下列函数的零点：(1

3、)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1.解　(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.故函数的零点是－3,1.(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的实数根是－1和1.∴函数的零点为±1.规律方法　函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.跟踪演练1　求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点.解　(1)当a＝0时，令

4、y＝0得x＝－2；(2)当a≠0时，令y＝0得，x＝或x＝－2.①当a＝－时，函数的零点为－2；②当a≠－时，函数的零点为，－2.综上所述：(1)当a＝0或－时，零点为－2；(2)当a≠0且a≠－时，零点为，－2.要点二　函数零点个数的判断例2　若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围.解　①若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)，故判别式Δ＝1＋4a＝0，a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点.规律方

5、法　判断或求形如函数y＝ax2＋bx＋c的零点时，首先对a分a≠0和a＝0两种情况讨论，然后对a≠0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.跟踪演练2　判断下列函数的零点个数：(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－.解　(1)由f(x)＝0即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等的实数根.∴函数f(x)有两个零点.(2)方法一　由x2－＝0得x2＝，令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝，在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象知两图象只有一个交点，故函数有一个零点.方法二　令f(

6、x)＝0得x2－＝0即x3－1＝0(x≠0)，∴x＝1，即方程只有一个根.∴函数有一个零点.要点三　函数零点性质的应用例3　已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围.解　令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f(x)的大致图象如图所示：则a应满足或即或解得0＜a＜5，∴a的取值范围为(0,5).规律方法　解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时

7、，要注意分类讨论.跟踪演练3　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围.解　由已知抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⇒∴－＜m＜－，故m的取值范围是(－，－).1.函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是(　　)A.(0，±2)；±2B.(±2,0)；±2C.(0，－2)；－