2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.4 圆与圆的位置关系学案（含解析）新人教b版必修2

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1、2.3.4　圆与圆的位置关系1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点)2．了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用．(重点)3．利用圆的对称性灵活解决问题的方法．(难点)[基础·初探]教材整理　圆与圆的位置关系及其判定阅读教材P101～P103“练习”以上内容，完成下列问题．1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．2．判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2

2、r1－

3、r2

4、＜d＜r1＋r2d＝

5、r1－r2

6、0≤d＜

7、r1－r2

8、(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．一元二次方程两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(　　)A．外离　B．相交C．内切D．外切【解析】　两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．【答案】　B[小组合作型]圆与圆位置关系的判定　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14

9、y＋k＝0相交、相切、相离？【导学号：45722113】【精彩点拨】　→→→【自主解答】　将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝(k＜50)．从而

10、C1C2

11、＝＝5.当1＋＝5，k＝34时，两圆外切．当

12、－1

13、＝5，＝6，k＝14时，两圆内切．当

14、r2－r1

15、＜

16、C1C2

17、＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋＜5或

18、－1

19、＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．

20、判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，

21、r1－r2

22、的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．　　[再练一题]1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(

23、3)外离；(4)内含．【解】　圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴

24、C1C2

25、＝＝a.(1)当

26、C1C2

27、＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当

28、C1C2

29、＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜

30、C1C2

31、＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当

32、C1C2

33、＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当

34、C1C2

35、＜3，即0

36、2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长．【精彩点拨】　―→―→―→【自主解答】　设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标是方程组的解，两式相减得x＋y－1＝0.因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，所以直线AB被圆C3截得弦长为2×＝.1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆

37、公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．3．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．[再练一题]2．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：

38、x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．【解】　由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理得方